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这些，也就是说我们不知道电子自旋的方向α。我们能否用测量来决定此方向呢？不，我们不能。我们最多能做的只是提取“部分”信息――就是简单的是或非问题的答案。我们可以选取空间中的某个方向β并在该方向上测量电子自旋。我们得到的答案非是即非，但在此之后，我们就丧失了关于原先自旋方向的信息。答案为是的话，我们知道现在这个态和｜β＞成比例；答案为非的话，则现在的态在和β相反的方向上。没有任何一种情形告诉我们测量之前态的方向α，它仅仅是给出了关于α的某种概率的信息。另一方面，似乎有某种完全客观的关于方向α的东西，电子在测量之前“刚好沿着这个方向自旋”①。由于我们也许选定了在方向α上测量电子的自旋――而电子必须肯定地给出的答案，如果我们刚好猜中了的话！
无论如何，电子的自旋态中贮藏着电子实际上必须给出的这个答案的“信息”。我似乎觉得，在按照量子力学来讨论物理实在的问题时，我们应该将什么是“客观的”和什么是“可测量的”区别开来。在对一个系统进行实验时，不能准确地（除了比例系数外）断定它处于何态，也就是说系统的态矢量的确是不可测量的。但是，态矢量似乎的确 （又是除了比例系数外）是系统的完全客观的性质，它为人们可能进行的实验的结果所完全表征。
在诸如电子的半自旋的单独粒子的情形，因为它仅仅断言存在电子自旋被精确定义的某方向，即便也许我们不知道这个方向，这种客观性也不是不合理的。（然而，以后我们会看到，对于更复杂的系统，这个“客观的”
图像会变得更奇怪得多――甚至对于仅仅包含一对半自旋粒子的系统而言也是如此。）但是，在电子自旋被测量之前它必须有一个物理上定义的态吗？在许多情形下，它没有必要。因为它自身不能被认为是一个量子系统，物理态① 这里必须在允许矢量的无限求和的意义下才行。希尔伯特空间牵涉到了有关这种无限求和的规则（由于这些过于技术性了，所以我不详细论及）。一般地必须认为是一个和其他大量粒子纠缠在一起的电子的描述。然而在特殊情形下，可以考虑电子本身（至少就其自旋而言）。按照标准的量子理论，在这种情况下，譬如它的自旋的方向预先（也许未知的时刻）被测量过之后的一段时间内没受到干扰，那么电子就具有完全客观的定义好的自旋方向。复制量子态电子自旋态的客观性以及不可测量性阐释了另一个重要事实：不能在使原先的态不被触动的情形下将其复制。因为假定我们能对一个电子的自旋态｜α＞进行复制。若能复制一遍，则能两遍多遍地复制。结果的系统会在一个定义得非常好的方向上具有大的角动量。可由宏观测量把这个方向｜α＞确定下来。这就违反了自旋态｜α＞的基本的不可测量性。
然而，如果我们准备去破坏原先的态，则复制便成为可能。例如，我们有一处于未知的自旋态｜α＞的电子和另一处于另一个自旋态｜γ＞的中子。将它们交换使中子自旋态为｜α＞而电子态为｜γ＞是完全合法的。我们所不能做的是复制｜α＞，（除非我们预先知道｜α＞实际上为何态）！（还可参阅伍特斯和朱列克1982。）
我们记得在第一章（29页）讨论过“远距运送机器”。这机器，原则上依赖于在遥远的行星上有可能拼装出一个人的身体大脑的复制本。一个人的“所知所闻”可以依赖于一个量子态的某些方面，这是一个令人感兴趣的猜想。若果真如此，则量子力学禁止我们去复制“所知所闻”而不破坏原先的态。远距离搬运的“矛盾”可望以这种方式得到解决。量子效应和大脑功能的可能关联将在最后两章考虑。光子自旋让我们在下面考虑光子的“自旋”以及它和黎曼球面的关系。光子具有自旋，但是因为它们总是以光速运动，人们不能将自旋认为是围绕于一个固定点；相反地自旋轴总在运动的方向。光子自旋称之为极化，这就是“偏振片”太阳镜的行为所根据的现象。把两偏振片重叠在一起并透视之。
一般地讲，你会发现有一定量的光透过去。现在使其中一片不动而旋转另一片，通过的光量会发生变化。在一个方向上，穿透的光达到最大，第二偏振片实际上并没减少穿透的光量；在与此垂直的方向上，第二偏振片可使通过的光量减少到零。按照光的波动图像最容易理解所发生的现象。在这里我们需要用马克斯韦的光波的振动电磁场描述。图6。26画出了平面偏振的光。电场在一个称为极化面的平面上上下振动。而磁场在一个垂直于电场振动的平面上振动，电磁场相互共振。每一偏振片让极化面和偏振片结构相平行的光通过。当第二个偏振片的结构和第一个指向一致时，所有通过第一偏振片的光就会通过第二偏振片。但是，当它们结构的方向相互垂直时，第二偏振片就将通过第一偏振片的光全部阻拦住。如果两个偏振片的指向夹角为j时，则第二偏振片让cos2j部分的光通过。图6。26平面偏振的电磁波。
在粒子表像中，我们应该把每一单独光子认为是具有偏振的。第一偏振片的行为像一个偏振度测量器。如果光子的确在一个合适的方向偏振，它就给出是的答案，并让光子通过。如果光子在与此相垂直的方向偏振，则答案为非，光子就被吸收。（注意在希尔伯特空间中的“正交”并不对应于通常空间中的“夹直角”！）假定光子通过了第一偏振片，则第二偏振片就会问相应的问题，但是对于某个其他的方向。如果两个方向的夹角为j， 我们现在就有cosj2作为已经通过第一偏振片的光子通过第二偏振片的概率。黎曼球面和这些有何相干呢？为了得到偏振态的全部复数系列，我们必须考虑圆的和椭圆的偏振。图6。27画出了经典波动的情形。圆偏振时电场旋转，而不是振荡。磁场仍然和电场成直角并同步地旋转。椭圆偏振可看成旋转和振动的结合，而描写电场的矢量在空间划出一个椭圆。在量子描述中，每一单独光子允许这些不同极化的方式――光子自旋的态。
如何在黎曼球面上将所有这些可能性表示出来呢？想象一个垂直向上运动的光子。现在北极代表右手自旋的态｜R＞，这表明当光子通过时电场矢量以反时钟方向绕着垂直的轴旋转（从上面看）。而南极代表左手自旋的态｜L＞。 （我们可以把光子想象成像来福枪子弹一样自旋，或是右旋或是左旋。一般的自旋态｜R＞＋q｜L＞是这两种态的复线性组合，它对应于黎曼球面上标出的一点。为了求出q和偏振椭圆的关系，我们首先取q的平方根 p：p = q。
然后在黎曼球面标出p而不是q。考虑通过球面中心的一个平面，该平面垂直于连接标上p的点和球心的直线。此平面和球面的交线为一圆周。我们将此圆周垂直投影就得了偏振椭圆（图6。28） 。q的黎曼球面仍然描述了光子偏振态的总体，但是q的平方根为之提供了空间实现。图6。27圆偏振电磁波。 （椭圆偏振是介于图6。26和图6。27之间的中间情况。）图 黎曼球面（现在是 的）也描述了一个光子的偏振态（指向 6。28 qq的矢量称为 。） 斯托克斯矢量我们可同样地将用于电子的同一个公式1/2（1＋cosθ）用于计算概率，只要我们把它应用于q而不是p。考虑一平面偏振我们首先在一个方向上，然后在另一和它夹j角的方向上测量光子的偏振。这两个方向对应于球面赤道上从中心看张角为的两个p值。因为p为q的平方根，所以q点在中心的张角为p点张角的两倍：θ=2j。这样，在第一测量结果为是后第二测量结果亦为是（亦就是通过第一偏振片的光子再通过第二偏振片）的概率为1/2（1＋cos2）这正是前面断言的cos2j…（可用简单的三角验证之）。乱这些描述。该因子是当我们要求｜→＞和｜←＞归一化时所引起的。大自旋物体对于具有多于两个基本态的量子系统，在物理上可区别的态的空间比黎曼球面更复杂。然而在自旋的情况，黎曼球面本身总是起着直接的几何作用。考虑以下 自旋为 × 的粒子或原子，让它处于静止。 有质量的 n / 2 h这样自旋就定义了一个n＋1态的量子系统。（对于一个无质量的，也就是以光速运动的自旋的粒子，譬如光子，正如上面所描述的，自旋总是一个两态系统。但是对于有质量的粒子，态的数目随着自旋而增加。）如果我们选择在某一个方向测量该自旋，会发现共有n＋1不同的可能的结果，此结果依自旋相对于该方向的指向而定。按照基本的单位h/2，在那个方向自旋的可能结果为n，n…2，n…4，…，2…n或…n。这样n=2时其值为2，0或…2；n=3时其值为3，1，…1或…3；等等。负值对应于自旋主要指向和所测量的方向相反的方向。在半自旋的情形，亦即n=1时，上述的值1对应于是，而值…1对应于非。
由于我不想企图在这里解释的原因，人们发现（马约拉纳1932，彭罗斯 ）对于 的自旋 （准确到一个比例系数）可唯 1987a n / 2 h 每一个自旋态一地由黎曼球面上的 （无序的） n 点的集合， 也就是从中心出发的n个 （通常不同的）方向表征（见图6。29）。这些方向由可能对此系统进行的测量所表征：如果我们在它们中的任一个方向测量自旋，则结果一定不会全在相反方向上，也就是给出值n，n…2，n…4，…2…n，但不会有…n。）在譬如上述电子的n=1的特殊情形下，这就是在上面描述中标以q的黎曼球面上的一点。但是对于大数值的自旋，正如我刚才描述的，图像变得更为精巧――虽然，由于某种原因，物理学家对此并不特别熟悉。
在这些描述中有些相当令人吃惊和困惑的东西。人们经常相�