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庋庑┓畔衷诒硎玖孔犹Ｎ颐前蚜礁鎏噶康牡有醋鳎祝荆黿＞，而带复数权重w，z的求和写作w｜ψ＞＋z｜x＞（这里w｜ψ＞表示w×｜ψ＞等等）相应地，我们现在可以将上述的组合ψt＋ψb，ψt…ψb，ψt＋iψb分别写为｜ψt＞＋｜ψb＞，｜ψt＞…｜ψb＞，｜ψt＞＋i｜ψb＞。我们还可以将一个单独态｜ψ＞乘上一个复数w得到w｜ψ＞。
（这是前面的一个特例，即z＝0。）
我们知道可以允许进行复权重的组合，这里w和z不必要是真正的概率幅度，只要是和这些幅度成比例即可。相应地我们采用允许以一个非零复数去乘整个态矢量而物理态不变的规则。 （这会改变w和z的实际的值，但是w∶z保持不变。）下面的每一矢量｜ψ＞，2｜ψ＞，…｜ψ＞，i｜ψ＞， ψ＞，π ψ＞，（ ） ψ＞等等，正如 ψ＞一样，代表 2｜ ｜ 1 … 3i ｜ z｜ 同一个物理态（z≠0）。希尔伯特空间唯一不能解释为物理态的要素是零矢量。（亦即希尔伯特空间的原点）。
图6。19 在希尔伯特空间中的矢量加法和矢量乘以标量，可以用通常① 按照更标准的分析的描述，我们的每一个螺旋（也就是动量态）由表达式ψ=eipx/h=cos（ipx/h）＋isin（ipx/h）给出（见第三章102页）这里p 是问题中动量的值。的方式，正如对在平常空间中的矢量那样摹想为了对所有的这一切进行几何描述，让我们首先考虑“实”矢。量的更通常的概念。人们通常将这样的矢量简单地摹想成平面上或三维空间上的一个箭头。利用平形四边形定律可得到两个箭头的和（图6。19）。用一个（实）数乘一个矢量的运算，按照“箭头”的图像就是简单地将此箭头的长度乘上这数，同时保持箭头的方向不变。如果乘数为负的，那么箭头的方向倒过来；如果乘数为零，则得到零矢量，它没有方向。（矢量O表示零长度的“零箭头”。）作用到一个粒子上的力即是这种矢量的一个例子。而经典速度、加速度和动量则为另外的例子。还有我们在上一章结尾处考虑的动量四矢量那是在四维而不是二维或三维空间的矢量。然而，希尔伯特空间中的矢量具有更高维数（事实上，通常是无限维的，但这一点在这里并不是重要的）。我们记得在经典相空间中也用箭头来表示矢量――那一定是非常高维的。相空间的“维数”不代表通常的空间的方向，希尔伯特空间的“维数”也是这样。相反地，每一希尔伯特空间的维数对应于量子系统的不同的独立的物理态。图6。20希尔伯特空间中的整射线代表物理量子态。
由于｜ψ＞和z｜ψ＞是等效的，所以一个物理态实际上对应于希尔伯特空间中通过原点的整条直线或射线（表述成某一矢量的所有的倍数），而不是这条线上的某一特殊的矢量。 这射线包含特定态矢量｜ψ＞的所有可能的倍数。（请记住，这些是复的倍数，所以直线实际上是复的线，但是现在最好不去忧虑它！）（参见图6。20）。我们将很快找到二维希尔伯特空间情形下的射线空间的精巧图画。无限维的希尔伯特空间是另一种极端情形。甚至在简单的单独粒子位置的情形下也会出现无限维的希尔伯特空间。粒子所有可能的位置都有完整的维！粒子的每个位置都在希尔伯特空间中定义一个完整的“座标轴”。这样，对应于粒子的无限不同的位置在希尔伯特空间中就有无限多不同的独立的方向（或“维数”）。动量态也可在同一希尔伯特空间中被表述。动量态可表达成位置态的组合，每一动量态对应于一个“对角线”出发的相对于位置轴倾斜的轴。所有动量态的集合提供了新的轴的集合。而从位置态轴向动量态轴的过渡牵涉到希尔伯特空间中的一个旋转。图6。21位置态和动量态在同一个希尔伯特空间中提供了正交轴的不同选取。人们甭想以精密的方式来摹想这一切。那是不合情理的！然而，从通常的欧几里德几何可以得到某些对我们非常有用的观念。特别是，我们直到现在考虑过的轴（所有的位置空间轴或所有的动量空间轴都认为是相互正交的，也就是相互夹角为“直角”。射线之间的“正交性”是量子力学中的一个重要概念：正交的射线是指相互独立的态。粒子所有可能不同的位置态都相互正交，所有可能不同的动量态也是如此。但是位置态并不和动量态垂直。这种情形已在图6。21上被非常梗概地表达出来。测 量测量（或观察）的一般规则R要求，量子系统的不同方面能被同地放大到经典水平的以及之后系统应当选取的不同状态必须永远是正交的。对于一次完整的测量，可选取的不同选择的集合组成正交基矢量的集合，表明希尔伯特空间中的每一矢量都能（唯一地）按照它们线性地表达出来。对于一个只包含单粒子的系统的位置测量，这些基矢量定义了我们刚刚考虑的位置轴。对于动量，它是定义为动量轴的不同的集合，对于不同种类完整的测量，还相应有其他的集合。测量之后，该系统的态跃迁到这些测量所决定的集合的一个轴上去――其选择只由概率来制约。没有任何动力学定律能告诉我们大自然会在已挑出的轴中选择哪一个。其选择是随机的，其概率为概率幅度的平方模。图6。22态｜Ψ＞在轴｜0＞，｜1＞，｜2＞，……上的正交投影的大小提供了所需要的幅度z0，z1，z2，……。假定我们对一个具有态｜ψ＞的系统进行了完整的测量，所选择的测量的基为：｜0＞，｜1＞，｜2＞，｜3＞，……。
由于它们组成了完全集，任何态矢量，特别是｜ψ＞可以按照它们而线性地①表示为：丨ψ＞=z0丨0＞＋z1丨1＞＋z2丨2＞＋z3丨3＞＋……。
在几何上，分量z0，z1，z2，……是矢量｜ψ＞的在不同的轴｜0＞，｜1＞，｜2＞……上的正交投影的大小的测度（见图6。22）。我们能将复数z0，z1，z2，……解释作所需要的概率幅度，这样它们的平方模就提供了在测量之后该系统处于相应的｜0＞，｜1＞，｜2＞， ……等态的不同概率。 然而， 这还不完全， 因为我们还未固定住不同的基矢量｜0＞，｜1＞，｜2＞，……等等的“尺度”。为此我们必须指明它们在某一种意义上是单位矢量（亦即具有单位“长度”的矢量），用数学的术语，它们组成了所谓的正交基（相互垂直的并归一化为单位矢量）6。如果｜ψ＞也被归一化成单位矢量，那么所需的相应的概率｜z0｜2，｜z1｜2，｜z2｜2……。如果｜ψ＞不是单位矢量，则这些数就分别和所需的概率幅度成比例。实际的幅度就为：
z z z 0 1 2y y y， ， ，等等并且实际概率为：
① 在更通常的量子力学描述中，将此和除以归一化因子――此处为 杂。z z z 022122222y y y， ， ，等等，这里｜ψ｜是态矢量｜ψ＞的“长度”。每一态矢量都具有正实数的“长度”（除了O具有零长度），而且如果｜ψ＞为单位矢量则｜ψ｜=1。完整测量是一种非常理想的测量。例如，一个粒子的位置的完整测量需要我们能在宇宙中的任何地方以无限精度将该粒子定位！一种更初等的测量是我们简单地问是或非的问题，譬如：“该粒子是处于某一根直线的左边或右边？”或“该粒子的动量是在某一个范围内吗？”等等。是或非的测量真正是测量的最基本类型。（例如，人们可以只用是或非测量把粒子的位置或动量收缩到任意小的范围。）假定是或非测量的结果为是。那态矢量必须在希尔伯特空间的“是”的我称之为Y的区域内。另一方面，如果测量的结果为非，那态矢量就在希尔伯特空间的“非”的我称之为N的区域内。区域Y和N是完全相互正交的，任何属于Y的态矢量必须和属于N的任何矢量正交（反之亦然）。此外，任一态矢量都能以唯一的方式表达成分别来自Y和N的两个矢量之和。用数学的语言讲Y和N是相互正交互补的。这样，｜ψ｜可唯一地表达成｜ψ＞=｜ψY＞＋｜ψN＞，这里｜ψY＞属于Y，而｜ψN＞属于N。｜ψY＞称为态｜ψ＞在Y的正交投影，相应地｜ψN＞为｜ψ＞在N上的正交投影（见图6。23）。
图6。23态矢量的减缩。可以按照一对相互正交互补的子空间Y和N来描述是或非测量。测量后，态｜ψ＞跃迁到它在其中一个子空间的投影，而态矢量长度平方在投影中减少的因子给出跃迁概率。
在测量时，态｜ψ＞跃迁并成为（比例于）｜ψY＞或｜ψN＞。如果结果为是，则它跃迁到｜ψY＞；如果为非，则跃迁到｜ψN＞。如果｜ψ＞是归一化的，则发生这些的相应概率为这些投影的态的长度平方｜ψY｜2，｜ψN｜2。如果｜ψ＞不是归一化的，我们必须将这些表示式除以｜ψ｜2。（“毕达哥拉斯定理”，｜ψ｜2=｜ψY｜2＋｜ψN｜2断言，这些概率之和为1，正如所预想的那样！）请注意，从｜ψ＞跃迁到｜ψY＞的概率由在投影中的长度平方的减少的比所给出。关于作用于量子系统的“测量动作”还有最后一点要弄清。不管对于任何态――譬如态｜x＞――总存在一个可在原则上进行的是或非测量7。如果被测量的态是（比例于）｜x＞，其答案则为是；如果垂直于｜x＞则为非。这样上面的区域Y可包含任何选定的态所有的倍数。这似乎隐含有很强的意义，态矢量必须是客观存在的。不管物理系统的态是什么，我们可称之为｜x＞。存在一种原则上可实行的测量，在此测量下｜x＞为唯一的（只差一个比例系数）肯定得到是的结果的态。这种测量对于某些态｜x＞也许是极其困难、甚至在实际中是“不可能”实现的。但是，根据这个理论，这样的测量在原则上能实现的事实，将会在本章后面产生某些惊人的推论。自旋和态的黎曼球面量子力学中称为“自旋”的量有时被