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速度之间的区别。在图5。25中我用稍微夸张的方式显示出由许多粒子构成的原先静止的球面，在地球引力作用下自由下落时如何受（牛顿）引力场的非均匀性的影响。该引力场在两个方面不均匀。首先，因为地球在有限距离的某处，靠近地球表面的粒子向下加速比远处的粒子更快（由于牛顿反平方律引起）。第二，由于同一个原因，在水平方向上不同位置的粒子加速度的方向也有些轻微差别。球面由于这种非均匀性引起了微小变形而成为一个“椭球面”。由于它靠近地球的部分遭受到比远处的部分稍微更大的加速度，它在向地球中心方向（以及相反的方向）被拉长。由于加速度在沿地球中心方向稍微向内侧的作用，它在水平方向变狭窄。
这种畸变效应被称为引力的潮汐效应。如果我们用月亮来取代地球的中心，并且粒子的球面用地球表面取代，则我们刚好得到由于月亮的影响而在地球表面产生的潮汐，鼓出的部分正是朝着和背着月亮的方向。这个不能用自由下落“消除”的引力场的一般特征正是潮汐效应。（潮汐畸变的大小实际和离开吸引中心的距离成反立方律，而不是反平方律的关系。）图5。26当球面围绕着物体（此处为地球）时，就有一个纯粹向内的加速（里奇）。
牛顿引力的反平方律可按照这个潮汐效应得到一个简单的解释：由原先18球形而畸变成的椭球的体积等于原先球体 （就认为该球面围绕着真空好了）的体积。这种体积性质是反平方律的特征，它对于其他的力的定律不成立。下一步，我们假定球面围绕着的不是真空而是总质量为M的某物体。此物体的引力产生附加的向内去的加速度分量。这样，由原先粒子球面变形成的椭球体积就会收缩，其收缩量和M成比例。我们让球面以固定的高度围绕着地球（图5。26），所发生的体积减小效应即为一个例子。由地球引力导致平常的向下（亦即向内）加速就是引起球形体积减小的同一个原因。这种体积减小效应印证了牛顿引力定律继续存在的部分，也即此力和吸引物体的质量成正比。我们画出这种情形的空间――时间图。我在图5。27上画出球面（在图5。25中画成了一个圆圈）上粒子的世界线。我在这里是用使球面的中心显得处于静止（“自由下落”）的座标系。广义相对论把自由下落运动看作“自由运动”――和无引力物理中的“均匀直线运动”相类似。这样，我们试图在空间――时间中用“直”的世界线来描绘自由下落。然而，从图5。27看出 “直”这个字在此处的用法显得混乱。
这只不过是术语的问题。我们以后就将自由下落的粒子的世界线称作空间――时间的测地线。图5。27空间――时间曲率：画在空间――时间中的潮汐效应。
图5。28曲面上的测地线。在正曲率处测地线收敛，而在负曲率处它们发散。这是一个好术语吗？“测地线”在通常情况下的含义是什么呢？我们考察二维曲面的类似情形。测地线为在曲面上（局部的）“最短程”的曲线。如果我们想象在此曲面上拉伸一根绳子（不要太长，否则它会滑走），那么这根绳子在曲面上就和一根测地线相重合。 我在图5。28上给出了两个曲面的例子，第一个具有“正曲率”（和球面类似），而第二个具有“负曲率”（一个马鞍形的面）。在正曲率曲面上，两根互相邻近的一开始相互平行的测地线会相互靠近；对于负曲率曲面，它们会相互离开。如果我们想象，自由下落粒子的世界线在某种意义上像是曲面上的测地线，则可以看到在前面讨论的引力潮汐效应和曲面的曲率效应之间有种紧密的相似性――但是现在情形下正的和负的曲率效应会同时存在。 我们可从图5。25和图5。27看到，空间――时间的“测地线”在一个方向上互相离开（当它们和地球在同一直线上时） ――正如图5。28中负曲率曲面的情形――在另一方向上它们互相靠近（当它们相对于地球处于水平的方向上）――正如图5。28中正曲率曲面的情形。这样，我们的空间――时间曲率确实似乎具有类似于我们两个曲面的“曲率”，但是由于更高的维数而变得更为复杂，在不同的位移上牵涉到正和负的曲率的混合。
这就显示了如何用空间――时间“曲率”的概念来描述引力场。这种描述的可能性终究到底是从伽利略的直觉而来的（等效原理），它允许我们用自由下落来消除“引力”。实际上我到此为止还不必要超出牛顿理论的范围。这个新的图像只是为此理论提供了重新表述 19。然而，当我们将此图像和狭义相对论的闵可夫斯基描述――亦即现在我们知道应用于不存在引力情况下的空间――时间几何相结合时，就得到了新的物理。其最终的结合物即为爱因斯坦的广义相对论。
回想一下我们从闵可夫斯基得到的教益。引力不存在时，空间――时间中定义了两点之间的特殊类型的“距离”测度。我们在空间――时间中有根描述某粒子的世界线，则沿着此世界线测量的闵可夫斯基“距离”表示这个粒子实际经历的时间。（在前一节我们事实上只考虑沿着与直线段一致的世界线的“距离”，但这个断言对于任意弯曲的世界线“距离”的测量也成立。）如果没有引力场――亦即没有空间――时间曲率时，闵可夫斯基几何是准确的。但是在引力存在时，我们只能将闵可夫斯基几何当作一种近似――如同平面是弯曲曲面几何的近似描述一样。我们如果用放大倍数越来越大的显微镜去考察曲面――使得曲面的几何伸展到越来越大的范围去――则该曲面就显得越来越平坦。我们说一个弯曲曲面在局部上像是一个欧几里德平面20。我们可以以同样的方式说在引力存在时，空间――时间在局部上像闵可夫斯基几何（也就是平坦的空间――时间），但是我们在更大的尺度下允许某种“弯曲性”（见图5。29）。特别是，正如在闵可夫斯基空间中一样，空间――时间中的任一点都是一个光锥的顶点。但是这些光锥不像在闵可夫斯基空间中的那样以完全一致的方式排列。我们将在第七章的一些空间――时间模型的例子中看到这种明显的非一致性（参阅387页的图7。13和7。14）。物质粒子的世界线的朝向总在光锥之内，而光子的世界线总是沿着光锥。正如在闵可夫斯基空间中一样，沿着任何一条这样的曲线，总存在测量该粒子所经历的时间的闵可夫斯基“距离”的概念。正如在曲面的情形，这种距离测度定义了与平空间不同的曲面的几何。
图5。29弯曲空间――时间图和上述的二维曲面情况相似，空间――时间中的测地线可有类似的解释。但是我们必须记住闵可夫斯基和欧几里德情形的不同之处。空间――时间中的测地的世界线取（局部）最大的距离（亦即时间），而不是取（局部）最小的长度。按照这一规则，引力作用下的自由运动粒子的世界线，实际上是测地线。这样，尤其是在引力场中运动的天体可用测地线来描写。在空虚的空间的光线（光子的世界线）也是测地线，并且是具有零“长度”的测地线21。我在图5。30中作为例子画出了地球和太阳的世界线的略图，地球绕太阳的运动是一根绕着太阳世界线的螺旋状的测地线。我也标出了从一个遥远的恒星到达地球的光子。因为按照爱因斯坦理论，光线被太阳的引力场所偏折，所以其世界线显得稍微有些“弯折”了。图5。30地球和太阳以及从遥远恒星处来的被太阳所偏折的光线的世界线。我们还要看看如何将牛顿的反平方律包括进来，并按照爱因斯坦相对论作何种修正。让我们回到在引力场中下落的粒子球面的例子上来。我们记得，如果球面围绕的只是真空，则按照牛顿理论，球的体积一开始不会改变；但是如果围绕的是一个总质量为M的物体，则会产生和M成正比的体积减小。这种规律在爱因斯坦理论中（对于小球面）刚好是一样，除了决定此体积减小的不完全是M，还有一附加的“通常非常小的”来自被围绕物质的压力的贡献。
四维空间――时间的曲率必须描写在任何地方在任何可能方向运动的粒子的潮汐效应。它的完整数学表达式由被称为黎曼曲率张量的量所给出。这个东西是有点复杂，在每一点具有二十个称作分量的数。不同的分量是在空间――时间中在不同方向上的不同曲率。黎曼曲率通常写作Rijkl。但是因为我不想在这里解释这些小指标的意义（事实上也不想解释张量的意义），我就简单地将它写作黎曼。
存在一种将此张量分解成两部分的方法，
第一部分是魏尔张量，第二部分是里奇张量（各有十个分量）。此分解可表达如下：
黎曼=魏尔＋里奇。
（其具体表达式在目前并不特别有用。）魏尔张量魏尔是测量我们自由下落的球面的潮汐畸变（亦即形状的初始变形，而非尺度的变化），而里奇张量里奇测量其初始体积改变 22。我们记得，牛顿引力理论要求下落球面所围绕的质量和这初始体积的减小成正比。粗略地讲，它告诉我们，物体的质量密度，或等效地能量密度（因为E=mc2）――应该和里奇张量相等。
事实上， 这基本上就是广义相对论的场方程――也即爱因斯坦场方程――实际的断言23。然而，关于这些还有许多技术上的细节，最好不在这里纠缠。只要知道存在一个称作能量――动量的张量，它将有关的物质和电磁场的能量、压力和动量都组织在一起。我把这一张量叫做能量，则爱因斯坦方程可非常粗略地写作：
里奇=能量。正是在能量张量中“压力”的出现以及为了使整个方程协调的条件要求，使得压力正如前述的也对体积缩小效应有所贡献。此方程似乎没有牵涉到魏尔�