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置的座标值的差，除以△t）。利用力的定律来计算加速度的适当的近似，再利用它使“速度”并因此下一允许时刻的新的格点位置被确定到所需要的近似程度。只要我们能维持所需的精度，则这种计算就可一直进行下去。很有可能算不了多少次其精度就失去了。以后的步骤是从更细的空间分格，以及更细的时间间隔重新开始。这一回能得到更好的精度，并在精度损失之前能计算到更久的将来的某一时刻。不断地增加细度，则计算的精度和所到达的将来的时间的长度就能不断地改进。可用这种方法将牛顿撞球世界计算到任意高的精度（不管多碰撞的问题）――我们可以在这种意义上讲牛顿世界的确是可计算的。
然而，认为这一个世界在实际上是“不可计算的”断言是具有某种含义的。这是因为得知的初始数据的精度总是受限制的。这类问题的确存在着固有的不可忽视的“不稳定性”。初始数据的极为微小的改变会导致结果行为的绝大的变化。（任何玩撞球的人，在他想用一个球去撞另一个使之落入球囊时，都知道我这样说的意思！）这在（连续）碰撞发生时尤其明显。但是，这种不稳定性行为也会发生在牛顿的引力远距离作用时（多于两体的情况下）。所谓的“混沌”或“混沌行为”经常用来表示这种不稳定的类型。例如，混沌行为对天气影响重大。虽然我们对控制基本元素的牛顿方程式了解甚多，但是远期天气预报之不可靠性则是臭名昭彰的！这根本不是那类可以任何方式驾驭的“不可计算性”。这只是因为所知的初始态的精度有限，而终态不能由初态可靠地算出。实际上只是随机因素被引入到未来的行为中而已。如果大脑的确使用了物理定律中的不可计算性的有用的因素，则它们必须具有完全不同的、并从这里引出更正面得多的特性。相应地，我根本不把这种“混沌”行为称为“不可计算性”，而将其称为“不可预见性”。正如我们很快就会看到的，在（经典）物理学中的决定性的定律中存在不可预见性，是一种非常一般的现象。在制造思维机器时，不可预见性正是我们希望尽量减小而不是去 “驾驭”的东西！为了更一般地讨论可计算性和不可预见性的问题，对物理定律采用比以前更广泛的观点将会更有助。这就促使我们不仅只考虑牛顿力学的理论，而且研究随后超越过它的各种理论。我们需要领略力学的美妙的哈密顿形式。哈密顿力学牛顿力学不仅在于非凡地应用到物理世界方面，而且在于它所引起的数学理论的丰富方面取得瞩目的成功。令人惊异的是，自然界所有超等理论都被证明是数学观念的丰富来源。这些绝顶精确的理论就作为数学而言也是极富成果的，这个事实具有一种深刻和美丽的神秘。它毫无疑问地表明，在我们经验的实在世界和柏拉图的数学世界之间有某种根本的关联。
（我将在第十章495页再讨论这一些。）牛顿力学也许是这方面的一个顶峰，因为它一诞生即获得了微积分。而且，牛顿理论形成了非凡的称为经典力学的数学观念的实体。十八和十九世纪许多伟大数学家的名字都和此发展相关联：欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、刘维尔、泊阿松、雅科比、奥斯特洛夫斯基、哈密顿。被称为“哈密顿理论”8的即为这一工作的总结。为了我们的目的对其稍微了解即可以了。威廉姆？罗曼？哈密顿（1805―1865）是一位多才多艺和富有创见的爱尔兰数学家，他还是在165页讨论过的哈密顿线路的发明者。他把力学发展成强调其与波传播相类似的形式。波和粒子的关系的暗示，以及哈密顿方程的形式对于后来的量子力学的发展极为重要。我在下一章还会提及。
用以描述物理系统的“变量”是哈密顿理论的一个奇妙的部分。迄今为止，我们一直把粒子的位置当作基本的，而速度作为位置对时间的变化率。我们记得在牛顿系统中为了确定随后的行为，必须指定初始态（192页），也就是需要所有粒子的位置和速度。在哈密顿形式中，我们必须挑选粒子的动量，而不是速度。（我们在190页提到粒子动量是速度和质量的乘积。）这种改变似乎很微不足道，但是重要的在于每一粒子的位置和动量似乎被当作独立的量来处理。这样，人们首先“假装”不同粒子的动量和它所对应的位置的改变率没有什么关系，而仅仅是一组分开的变量。我们可以想像它们“可以”完全独立于位置的运动。现在在哈密顿形式中我们有两族方程。有一族告诉我们不同粒子的动量如何随时间变化，另一族告诉我们位置如何随时间变化。在每一种情况下，变化率总是由在该时刻的不同位置和动量所决定。粗略地讲，第一族哈密顿方程表述了牛顿的关键的第二运动定律（动量变化率=力），而第二族方程告诉我们动量实际上即是依赖于速度（位置变化率=动量÷质量）。我们记得，伽利略――牛顿的运动定律是用加速度，即位置变化率之变化率（亦即“二阶”方程）来描述。现在，我们只需要讲到事物的变化率（“一阶”方程），而不是事物变化率的变化率。
所有这些方程都是从一个重要的量推导而来：哈密顿函数 H，它是系统的总能量按照所有位置和动量变量的表达式。哈密顿形式提供了一种非常优雅而对称的力学描述，我们在下面写出这些方程，仅仅是为了看看它们是什么样子的。虽然，甚至许多读者并不熟悉完全理解之所必须的微积分记号――它在这里是不需要的。就微积分而言，所有我们真正要理解的是，出现在每一个方程左边的点表示（在第一种情况下，动量的；在第二种情况下，位置的）对时间的变化率：pHxxHp iiii= … =？？？？，？这里下标i用以区别所有不同的动量座标p1，p2，p3，p4，…和所有不同的位置座标x1，x2，x3，x4，…。n个不受限制的粒子具有3n个动量座标和3n个位置座标 （每一个代表空间中的三个独立的方向）。符号？表示 “偏微分”（“在保持其他变量为常数的情况下取导数”）。正如前述的，H为哈密顿函数。（如果你不通晓“微分”，不必担心。只要认为这些方程的右边是某些定义完好的，以xi和pi来表达的数学式子就行了。）在实际上，座标x1，x2，…和p1，p2，…可允许为某种比粒子通常的笛卡尔座标（亦即xi为通常的沿三个不同的相互垂直的方向测量的距离）更一般的东西。例如座标xi中的一些可以是角度（在这种情形下，相应的pi就是角动量，而不是动量，参见190页），或其他某些完全一般的测度。令人惊异的是，哈密顿方程的形状仍然完全一样。事实上，合适地选取H，哈密顿形式不仅仅是对于牛顿方程，而且对任何经典方程的系统仍然成立。对于我们很快就要讨论的马克斯韦（――洛伦兹）理论，这一点尤其成立。哈密顿方程在狭义相对论中也成立。如果仔细一些，则广义相对论甚至也可并入到哈密顿框架中来。此外，我们将要看到在薛定谔方程（332页）中，哈密顿框架为量子力学提供了出发点。尽管一世纪以来构的形式却是如此地统一，这真是令人惊叹！相空间哈密顿方程的形式允许我们以一种非常强而有力的一般方式去“摹想”经典系统的演化。想象一个多维“空间”，每一维对应于一个座标x1；x2，…p1，p2，…（数学空间的维数，通常比3大得多。）此空间称之为相空间（见图5。10）。对于n个无约束的粒子。相空间就有6n维（每个粒子有三个位置座标和三个动量座标）。读者或许会担心，甚至只要有一个单独粒子，其维数就是他或她通常所能摹想的二倍！不必为此沮丧！
尽管六维的确是比能明了画出的更多的维数，但是即使我们真的把它画出也无太多用处。仅仅就一满屋子的气体，其相空间的维数大约就有10 000 000 000 000000000000 000 000去准确地摹想这么大的空间是没有什么希望的！既然这样，秘诀是甚至对于一个粒子的相空间都不企图去这样做。只要想想某种含糊的三维（或者甚至就只有二维）的区域，再看看图5。10就可以了。图5。10相空间。相空间的单独点Q表明某一个物理系统的整个态，包括其所有部分的瞬态运动。我们如何按照相空间来摹想哈密顿方程呢？首先，我们要记住相空间的单独的点 Q实际代表什么。它代表所有位置座标x1，x2，…和所有动量座标p1，p2，…的一种特别的值。也就是说，Q表示我们整个物理系统，指明组成它的所有单独粒子的特定的运动状态。当我们知道它们现在的值时，哈密顿方程告诉我们所有这些座标的变化率是多少；亦即它控制所有单独的粒子如何移动。翻译成相空间语言，该方程告诉我们，如果给定单独的点Q在相空间的现在位置的话，它将会如何移动。为了描述我们整个系统随时间的变化，我们在相空间的每一点都有一个小箭头――更准确地讲，一个矢量――它告诉我们Q移动的方式。这整体箭头的排列构成了所谓的矢量场（图5。11）。哈密顿方程就这样地在相空间中定义了一个矢量场。
我们看看如何按照相空间来解释物理的决定论。对于时间t=0的初始数据，我们有了一族指明所有位置和动量座标的特定值；也就是说，我们在相空间特别选定了一点Q。为了找出此系统随时间的变化，我们就跟着箭头走好了，这样，不管一个系统如何复杂，该系统随时间的整个演化在相空间中仅仅被描述成一点沿着它所遭遇到的特定的箭头移动。我们可以认为箭头为点Q在相空间的“速度”。“长”的箭头表明Q移动得快，而“短”的箭头表明Q的运动停滞。只要看看Q以这种方式随着箭头在时间t移动到何处，即能知道我们物理系统在该时刻的状态。很清楚，这是一个决定性的