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适合于我们物理空间结构的经验的观测事实！ 欧几里德几何确实是一个超等的物理理论。这是它作为纯粹数学的一部分的精巧性和逻辑性以外的又一个品质。
在某种意义上，这和柏拉图（约公元前360年；大约在欧几里德著名的《原本》一书出版之前五十年左右）采纳的哲学观点相差不远。依柏拉图观点，纯粹几何的对象――直线、圆周、三角形、平面等等――在实际的物理世界中只能近似地得到实现。而那些纯粹几何在数学上的精确对象居住在一个不同的世界里――数学观念的柏拉图的理想世界中。柏拉图的世界不包括有可感觉的对象，而只包括“数学的东西”。我们不是通过物理的方法，而是通过智慧来和这个世界接触。只要人的头脑沉思于数学真理，用数学推理和直觉去理解，则就和柏拉图世界有了接触。这个理想世界被认为和我们外部经验的物质世界不同，虽然比它更完美，但却是一样地实在。（回顾一下我们在第三章113页和第四章129页关于数学概念的柏拉图实在性的讨论。）这样，可以单纯地用思维来研究欧几里德几何，并由此推导其许多性质，而外部经验的“不完美的”世界不必要刚好符合这些观念。基于当时十分稀少的证据，柏拉图以某种不可思议的洞察力预见到：一方面，必须为数学而研究数学，不能要求它完全精确地适用于物理经验的对象；另一方面，实际的外部世界的运行只有按照精确的数学――亦即“智慧接触得到的”柏拉图理想世界才能最终被理解。柏拉图在雅典创建了科学院以推动这种观念。极富影响的著名的哲学家亚里斯多德即为其中之出类拔萃者。但是我们要在这里论及另一位比亚里斯多德名望稍低的科学院成员，即数学家兼天文学家欧多索斯。依我看来，他是一位更优秀得多的科学家，也是古代最伟大的思想家之一。欧几里德几何中有一基本的、微妙的并的的确确最重要的部分，那就是实数的引进，虽然今天我们几乎不认为它是几何的（数学家宁愿将它称作“分析”的，而非“几何”的。）因为欧几里德几何研究长度和角度，所以必须了解用何种“数”来描写长度和角度。新观念的核心是在公元前四世纪由欧多索斯（约公元前408至355年）②提出的。
② 我在这儿是指大爆炸的“标准模型”，还有许多大爆炸理论的变种，目前最流行的是所谓的 “暴涨模型”，由于毕达哥拉斯学派发现了像 这样的数不能被表达成分数，使得希腊 2几何陷入了“危机”之中（参阅第三章第94页）。将正方形的对角线，以其边长来度量时就必然出现 这个数。对于希腊人来说，为了用算术的 2定律来研究几何量，将几何测量（比）按照整数（比）来表示是很重要的。欧多索斯的基本思想是提供一种以整数表达长度比例的办法（也就是实数）。他依赖于整数的运算提出了决定一个长度比例是否超过另一个比例，或两者是否完全相等的判据。
该思想可概述如下：如果a，b，c和d是四个长度，则断定比例a/b大于比例c/d的判据是：存在整数M和N，使得a增大到N倍超过b增大到M倍，而同时d增大到M倍超过c增大到N倍①。可用相应的判据来断定a/b是否比c/d小。所寻求的使a/b和c/d相等的判据也就是前两个判据都不能满足！
直到十九世纪，狄得钦和韦尔斯特拉斯等数学家才发展出完全精确的抽象的实数数学理论。 但是他们的步骤和欧多索斯早在22个世纪以前已经发现的思路非常相似！我们在此没有必要描述这个现代发展。在第三章第95页我已给出了这个理论的模糊暗示。但是，为了更容易表达，我宁愿在这里用更熟悉的小数展开的方法来讨论实数理论。（这种展开实际是在1585年才由斯蒂文引进的。）必须指出，虽然我们很熟悉小数表达方式，但希腊人却对此无知。图5。3托勒密定理然而，在欧多索斯设想和狄德钦――韦尔斯特拉斯设想之间有一个重大差别。古希腊人把实数设想成按照几何量 （比）的给定的东西，当作 “实际”空间的性质。希腊人用算术来描述几何量是为了要严格地处理这些量以及它们的和与积――亦即古人这么许多美妙几何定理的要素的先决条件。（我在图5。3画出并解释了杰出的托勒密定理――虽然托勒密比欧多索斯要晚许久才发现它――该定理和一个圆周上的四点之间的距离相关，它很清楚地表明了和与积都是需要的。）历史证明欧多索斯判据极其富有成果，尤其是它使希腊人能严格地计算面积和体积。
然而，对于十九世纪尤其是当代的数学家而言，几何的作用已被改变了。古希腊人，尤其是欧多索斯，认为“实”数是从物理空间的几何中抽取出来的东西。现在我们宁愿认为在逻辑上实数比几何更基本。这样的做法还可以允许我们建立所有不同种类的几何，每一种几何都是从数的概念依我看来，它无疑地是属于尝试的范畴之中！
① 尼古拉？伊凡诺维奇？罗巴切夫斯基（1792―1856）是几位独立发明这种和欧几里德几何不同的几何中的一个人。其他人是卡尔？弗里德里希？高斯（1777―1855），菲迪纳德？施维卡德和雅诺斯？波里埃。出发。（其关键的思想是十六世纪由费马和笛卡尔引进的座标几何。座标可用来定义其他种类的几何。）任何这种“几何”必须是逻辑协调的，但不必和我们经验的物理空间有任何直接的关联。我们似乎感知的特别物理几何是经验的理想化（例如，依赖于我们将其向无限大或无限小尺度的外推，参阅第三章第99页）。但是现代的实验已足够精密，以至于我们必须接受 “经验的” 几何的确和欧几里德观念有差别的这一事实 （参阅242页）。
这种经验和从爱因斯坦广义相对论推导的结果相一致。然而，尽管我们的物理世界的几何观点起了变化，欧多索斯二十三世纪之久的实数概念在实质上并没有改变。它对爱因斯坦理论正如对欧几里德理论一样重要。其实，迄今为止它仍然是一切严肃物理理论的重要部分。欧几里德的《原本》的第五部基本上是关于欧多索斯“比例论”的阐述。这对整本书而言是极为重要的。全书首版于公元前300年的《原本》的确必须列为有史以来最具深远影响的著作之一。它成为后来的几乎所有科学和数学思想的舞台。它全部是由一些被认为空间的“自明”性质，亦即清楚叙述的公理出发演绎而来，其中许多重要推论根本不是显而易见的，而是令人惊异的。无疑地，欧几里德的著作对后世科学思想的发展具有深刻的意义。
阿基米德（公元前287―212）无疑是古代最伟大的数学家。他天才地利用欧多索斯的比例论，计算出诸如球体，或者更复杂地牵涉到抛物线和螺线的许多不同形体的面积和体积。今天我们可以用微积分十分容易地做到这些。但是我们要知道，这是比牛顿和莱布尼兹最终发现微积分早十九世纪的事！（人们可以说，阿基米德已经通晓微积分的那一多半――亦即积分的那一半！）阿基米德的论证，甚至以现代的标准看，也是毫无瑕疵的。他的写作深深地影响许多后代的数学家和科学家，最明显的是伽利略和牛顿。阿基米德还提出了静力学的（超等的？）物理理论（亦即制约平衡的物体，诸如杠杆和浮体的定律）。他用类似于欧几里德发展几何空间和固体几何的科学方法，将其发展成演绎的科学。阿波罗纽斯（约公元前262―200）是我必须提及的一位阿基米德的同时代人。他是一位具有深刻洞察力的、伟大的、天才的几何学家。他关于圆锥截线（椭圆、抛物线和双曲线）的研究极大地影响了开普勒和牛顿。
令人惊异的是，这些截线的形状刚好是描述行星轨道所必须的！伽利略――牛顿动力学对运动的理解是十七世纪科学的根本突破。古希腊人对静态的物理――刚性的几何形状或处于平衡的物体（此时所有的力都平衡，因而没有运动）理解得很透彻。但是他们对制约实际运动的物体的定律并没有很好的概念。他们所缺少的是一个好的动力学理论，亦即自然实际上控制物体的位置从第一时刻到下一时刻变化的完美方式的理论。其部分原因（绝非全部）则是没有测量时间的足够精密的手段，亦即没有相当好的“钟表”。
为了给位置变化定时以及确定物体的速度和加速度，人们必须有钟表。因此1583年伽利略观察到摆能作为计时的可靠手段的这个事件对他 （甚至对整个科学！）极具重要性，因为这样一来运动的计时就变准确了4。随着55年后的1638年伽利略《对话》一书的出版诞生了新的学科――动力学――开始了从古代神秘主义到现代科学的转化！
图5。4速度，速率和加速度让我仅仅列举伽利略提出的四个最重要的物理观念。第一是作用在物体上的力决定的是它的加速度，而不是速度。此处“加速度”和“速度”
的含意是什么呢？粒子――或物体上的某点――的速度是该点位置相对于时间的变化率，速度通常是一个矢量，亦即必须同时考虑其方向和大小的量（否则我们用“速率”这一术语，见图5。4）。加速度（又是一个矢量）是速度相对于时间的变化率――这样加速度实际上是位置相对于时间的变化率的变化率！ （这对于古人来说实在太难为了！他们既缺乏可胜任的“钟表”，又不具备与变化率相关的数学概念。）伽利略断言，作用在物体的力（在他的情形下是指重力）制约物体的加速度，而非直接制约其速度――正和古代人例如（亚里斯多德）所相信的不一样