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然而，若没有哥德尔定理，人们可能想象“自明”和“意义”的直觉① 虽然费马的全部命题F 的真伪性仍然未知， 但是个别命题G（0）， G（1）， G（2）， G3S（3）， …直到大约G（125000）的真理性是已知的。也就是说，已经知道没有任何一个立方可以是正数立方的和，没有一个四次方为四次方之和等等，直到相应的关于125000次方的断言。（见66页的译者注脚）。概念只要在开始建立形式系统时用一次就好了，而此后就与决定真理的清楚的数学论证不相干。那么按照形式主义者的观点，这些“模糊的”直觉概念在发现适当形式的论证时，作为数学的初步思维、或者导引而起作用，而在实际展示数学真理时不起作用。哥德尔定理表明，这个观点在数学基本哲学中不能真正站住脚。数学真理的观念远远超越形式主义的整个概念。关于数学真理存在某些绝对的“上帝赋予”的东西。这就是在上一章结尾处讨论的柏拉图主义。任何特定的形式系统都具有临时和“人为”的品格，在数学的讨论中，这类系统的确起着非常有价值的作用，但是它只能为真理提供部分（或近似）的导引。真正的数学真理超越于人为的构造之外。柏拉图主义或直觉主义？
我已指出了数学哲学的两个相反的学派，我强烈地赞成柏拉图主义，而不赞成形式主义观点。我的划分实际上是非常朴素的。可以对此观点进行许多细致的推敲。例如，人们可以争论在“柏拉图主义”的总名称下，数学思维的对象是否在任何实际的“存在”，或者它只是绝对的数学“真理”的概念，我不想在此做任何鉴别。依我看来，数学真理的绝对性和数学概念的柏拉图存在性本质上是等同的一件事。例如，必须归于孟德勒伯洛特集的“存在”是其“绝对”性质的特征。阿伽德平面上的一点是否属于孟德勒伯洛特集是一个绝对的问题，与哪个数学家哪台电脑在作考察无关。正是孟德勒伯洛特集的“数学家无关性”赋予它柏拉图式的存在。而且，它最精细的细节超过了我们目前使用电脑所能得到的的极限。那些仪器只能得到具有更深刻的自身的“电脑无关”存在结构的近似。然而，我很欣赏对此问题的许多其他合情理的观点。在此我们不必过于忧虑这些差别。
如果的确有人声称自己为柏拉图主义者，他究竟愿意把柏拉图主义贯彻到何等程度，也有观点上的不同。哥德尔本人是一个非常强烈的柏拉图主义者。我迄今所考虑的数学陈述的类型是相当“缓和的”5。特别在集论中可引入更令人争议的陈述。当考虑集论的所有分支时，就会遭遇到构造极其庞大的模糊的集合，以至于像我这样坚定的柏拉图主义者都会怀疑其存在或它为“绝对的”东西6。也许会面临着这样的阶段，集合具有如此繁复以及概念上可疑的定义，以至于有关它们数学陈述的真伪问题开始具有某种“个人品味”而非“上帝赋予”的品质。人们是否准备和哥德尔一道把柏拉图主义坚持到底，要求关于这么巨大集合的数学论述的真伪总为一个绝对的或“柏拉图”的事体，或者人们在某处停止，只有当集合为合理地构成并且没有这么巨大时才寻求绝对的真伪的解答，对我们的讨论关系并不重大。以我刚刚提到的标准看，对于我们具有意义的（有限或无限）集合，真是不可思议的微小！这样我们不必关心在这些不同柏拉图主义观点之间的差异。然而，存在诸如称为直觉主义（或称作有限主义）的其他数学观点，它走到拒绝任何无限集合的完整存在的另一极端①。直觉主义是1924年由荷兰数学家L．E．J．伯鲁尔作为对某些（诸如罗素的）佯谬的与形式主义相区别的响应而倡导的。这些佯谬是由于在数学推理中太过自由地应用① 当形式系统具有k＋1 个不同符号加上从未用过的新的“零”时，我们可把字典编序认为是“k＋1 进位”
的自然数的通常顺序。这是因为以零开始的数和这前面的零被略去的同一个数一样。共有九个符号的串的简单字典顺序可以用通常的没有零的十进位写出的自然数得到：1，2，3，4……、8，9，11，12，……，19，21，22……，99，111，112，……。无限集合所引起的。这种观点的根源可追溯到亚里斯多德。他虽然是柏拉图的学生，却否定柏拉图关于数学本体的绝对存在和无限集合的可接受性。直觉主义否认（无限或其他）集合自身的“存在性”，而集合仅仅被当作可能确定其成员的规则。伯鲁尔的直觉主义的一个特征是排斥“排中律”。该定律宣称，一个陈述的否定之否定等效于该陈述。（可用符号表示为～（～ ） ， P P ？这是我们上面遇到的关系。）也许亚里斯多德会对在逻辑上如此“显明的”
东西受到排斥感到不悦！排中律按照“常识”被认为是自明的真理：如果某事物不真的断言是错的，则该事物一定是真的！（这一个定律是被称作反证法的数学步骤的基础，参阅67页。）但是直觉主义者发现他们能推翻这一个定律。这基本上是因为他们对存在的概念采取不同的看法，他们要求一个确定的（智力上的）构造必须是数学对象实际存在性被接受的先决条件。这样，对于直观主义者来说，“存在”的意思是“构造存在”。在一个用反证法来进行的数学论证中，人们提出某种假设，试图去显示出它的推论会导致一个矛盾，这个矛盾为问题中假设的谬误提供了所需的证明。此假设可采用这样的一个陈述，具有某些必须性质的数学事体不存在。
当这个陈述导致矛盾时，在通常数学中，他就推论说所需的事体的确存在。但是，这样的论证本身并没为实际构造这样的事体提供任何手段。对于直觉主义者来说，这类存在根本就不是存在。他们正是在这个意义上拒绝接受排中律以及反证法的步骤。伯鲁尔对此非构造性的“存在”深为不满7。他断言，没有一个实在的构造，这种存在的概念是无意义的。在伯鲁尔的逻辑中，人们不能从某种对象的不存在性的谬误推导出该物体实际上的存在！
我认为，虽然关于从数学的存在中寻求构造有某些令人赞赏的东西，但伯鲁尔的观点是过于极端了。伯鲁尔在1924年首次提出他的思想，比彻屈和图灵的工作早十多年。现在按照图灵的可计算性的构造性概念可在数学哲学的传统框架内研究，并没有必要走到像伯鲁尔那么极端的程度。我们可以把构造性的问题和数学存在性的问题分开来讨论。如果我们跟随直觉主义，就必须摒弃自己使用数学中非常强有力的论证的使用，而课题就变得有点窒息和虚弱。
我不想细述直觉主义观点导致的种种困难的荒谬；但是仅仅提及一些问题也许是有益的。伯鲁尔经常关心提及的一个例子是π的小数展开：3．141592653589793…。
是否在这个展开的某一处存在二十个接连的7的序列，也就是π=3。141592653589793…77777777777777777777…，或者不存在这种情形呢？按照通常的数学，现在所有能说的是，或者存在或者不存在――而我们不知哪个是对的！这看来是一个肯定无害的描述。然而，除非人们已经（以某种直觉主义者接受的构造方式）确立存在这个序列或者不存在这个序列，他们实际上对讲“或者π的小数展开中某处存在连续二十个7的序列或者不存在”采取否决的态度！直接的计算也许足以显示在π的小数展开的某处的确存在二十个连续的7的序列，但要确证没有这样的序列则需要某种数学定理。迄今电脑在计算π时还不能进行足够远到能确认该序列的存在。在基于概率的基础上，人们预料这样的序列的确存在。但是即使利用一台每秒能恒定产生1010位数的电脑，大约也要需要一百或一千年左右才能找到这序列！我认为更可能是，不进行直接计算，该序列的存在某天会在数学上被确认（也许是作为推论某种更有力和更有趣得多的结果）――虽然也许不是以直觉主义者能接受的方式！
这一个特殊问题并不具有实际的数学趣味。它只是由于容易叙述才作为例子提出。以伯鲁尔的直觉主义的极端形式，他会宣称：现在断言“在π的小数展开中的某处存在二十位连续的7的序列”既不是真的亦不是伪的。如果在将来用计算或（直觉主义的）数学证明得到适当的这种或那种结果，那么断言就变成“真”的或“伪”的，视当时情况而定。“费马最后定理”是一类似的例子。根据伯鲁尔的极端直觉主义，现在这一道命题既不是真的亦不是伪的，但将来也�