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和步骤法则的形式数学系统”的含义弄得更清楚些。
先必须假定有一符号表，我们的数学陈述用这些符号来表达。为了使算术能归并到该系统中去，这些符号必须足够於用来表示自然数。如果需要的话，我们可以只用通常的阿拉伯数的记号0，1，2，3…9，10，11，12，…，虽然这使得法则的说明比所需要的稍微复杂一些。我们如果譬如讲用0，01，011，0111，01111，…去表示自然数列（或，作为折衷，我们可以用二进位记号），则说明就会简单得多。然而，由于这会在以下的讨论中引起混淆，所以在我的描述中只用通常的阿拉伯记号，而不管系统在实际上用什么符号。我们也许需要一个“间隔”符号去把我们系统的不同的“词”或“数”分开，但这又是令人混淆的，所以为了必要的目的我们可以只用（，）。我们还需要用字母来表示任意（“变量”）自然数（或许整数、分数等等――但是让我们在这里只局限于自然数），譬如t，u，v，w，x，y，z，t′，t″，t′″，…。符号t′，t″…也许是需要的，因为我们不想对表式中可能出现的变量数目加上一个上限。我们把（′）当作形式系统的另外的符号，这样使符号实际数目保持为有限。我们还需要基本算术运算的符号=，＋，×等等，也许还需要不同种类的括号（ ） V ， ，〔，〕以及诸如＆（“以及”）， （“意味着”）， （“ T或”）， （“唯有如果”），～（“非”，或“以下论述是不真 ？
以把诸如“费马最后定理”的陈述写成～ ， ， ， 〔 〕 w x y z （x ＋1） ＋ （y ＋1） = （z ＋1）w＋3 w＋3 w＋3（见第二章65页）。（我原可以用0111来表示3，或者利用“升幂”的记号使得和形式化符合得更好；但是正如我说过的，我只拘泥于传统的符号，以避免引进不必要的混淆。）上面的陈述（到第一方括号处结束）的意思为：
“不存在自然数w，x，z，z使得…”。
其意思（到第一方括号的“非”符号处结束）为：
“对于所有的自然数w，x，y，z下述不真…”。
这和前面在逻辑上是相同的。
我们需用字母来表示整个命题， 为此目的我用大写字母P， Q， R， S， …。
如下的一个命题事实上为上面的费马的断言：
F w x y z （x ＋1） ＋ （y ＋1） = （z ＋1）
w＋3 w＋3 w＋3＝～ ， ， ， 〔 〕 一个命题也可依赖于一个或更多的变量；例如，我们也许对某一特殊的①指数 w＋3下的费马断言感兴趣：
G（w） = ～ 〔 〕 ＋ ＋ ＋ = ＋ ＋ ＋ ＋x y z x y z w w w ； ； （ ） （ ） （ ） ； 1 1 1 3 3 3这样G（0）断言“没有一个立方可代表正数立方之和”，G（1）对四次方作同样断言，等等。（注意 之后的 没有出现。）现在费马断言是说， wG（w）对所有的 w成立。
G （） 是一个所谓的命题函数， 也就是依赖于一个或多个变量的命题的例子。
系统的公理是由一般命题的有限罗列所构成，假定在符号的意义已给定的情形下，这些命题的真理性是不证自明的。例如，对于任何命题或命题函数P，Q，R（），在我们公理之中有其“自明的真理性”清楚地可由其意义所确定。 （第一个简单地断言： “如果P和Q都为真，那么P为真”；第二个断言：“P不真的断言为不真”
和“P为真”是等价的；第三个可用上面给出的“费马最后定理”的两种叙述方法的逻辑等价性作为例子）。我们还可包括基本的算术公理，诸如尽管人们也许宁愿从某些更初等的东西建立这些算术运算，并将这些陈述作为定理导出。步骤法则是诸如这样（自明）的东西：“从 和 我们可推出 ”， P P Q Q Tx而得出的任何命题”。这些是告诉我们如何从已成立的命题引出新命题的方针。
现在从公理开始，然后不断重覆应用步骤法则，就可以建立起一长串的命题。我们在任何阶段都可再使用这些公理，并且总可以不断使用任何我们已经添加到越来越长的表上的命题。任何正确地集合到表上的命题都被称作定理（虽然它们中有许多是相当无聊和无趣的）。如果我们有一个要证明的特定的命题P，则我们可去找一个表，这个表按照这些法则正确地集合起来，并用我们特定的命题P作为终结。这样的表在我们的系统中为我们提供了一个P的证明；而P就相应地成为一道定理。
希尔伯特规划的思想是，对于任何定义好的数学领域，去找一足够广① 一个集合表示事物的整体――可被整体地处理的物理对象或数学概念。在数学中，集合中的一个元素 （也就是成员）自身经常为一集合、因为集合可以被收集在一起而形成集合。这样人们可以考虑集合的集合以及集合的集合的集合，等等。泛的公理和步骤法则的表，使得所有适合于该领域的正确的数学推理的形做诸如“费马最后定理”的陈述）。考虑比这更一般的数学领域在这里对我们并无益处。算术已经是足够一般到可以应用哥德尔步骤的地步。如果我们能够接受这样的事实，即这个公理和步骤法则的广泛系统，按照希尔伯特规划，的确把算术给予我们，那么它就为我们提供对算术中任何命题数学证明的“正确性”的确定判据。人们存在过希望，这样的公理和法则系统也许是完备的， 也就是它会使我们在原则上决定任何可在此系统中表述的数学陈述的真伪。
希尔伯特的希望是，对于任何一串代表一个数学命题的符号，譬如讲P，人们应能证明或者P或者～P，依P是真的还是伪的而定。我们在这里必须假定该符号串在构造上是语法正确的， 也就是满足所有形式主义的记号法则，诸如括号必须正确地配对等等――使得P具有定义清楚的真的或伪的意义。如果希尔伯特的希望能被实现，这甚至使我们不必为这些命题的意义忧虑！P仅仅为一语法正确的符号串。如果P为一道定理（也就是可在系统内证明P），则符号串P的真值就可被赋于真。另一方面，如果能证明～P为定理的话，则可被赋于伪。为了使这些有意义，我们除了完备性外还需要一致性。也就是说，不应有P和～P都为定理的符号串P。
否则P会同时是真的和伪的！
把数学陈述中的意义抽走，只把它们当成某种形式数学系统的符号串是形式主义的数学观点。有些人喜欢这种观点，而数学就变成一种“无意义的游戏”。然而，我不欣赏这种观点。确实是“意义”而非盲目的算法计算才赋于数学以实质。庆幸的是，哥德尔给了形式主义以毁灭性的打击！让我们看看他是怎么做的！哥德尔定理哥德尔论证的部分是非常繁琐和复杂的。然而我们没有必要去考察那纷乱的部分。另一方面，其中心思想是简单、漂亮和深刻的。这就是我们可能鉴赏的部分。其复杂的部分（其中不乏许多巧妙之处）仔细说明如何把形式系统的个别步骤法则以及不同公理的使用实际地编码成算术运算。（意识到这是一个富有成果的可进行的工作正是其深刻部分的一个方面！）为了实现编码，人们需要找到用自然数来对命题编号的某种方便方式。一种方法就是简单地对形式系统每个特定长度的符号串使用某种“字典”顺序，按照串的长度还有一个总的顺序。（这样，长度为1的串可按字母顺序排列，接着的是按字母顺序排列的长度为2的串，再后面是长度为3的串等等）。这叫做字典顺序①。哥德尔原先用的编号顺序更复杂，但是这种差异对我们不重要。我们将特别关心依赖于单变量的命题函数，譬如上述的G（w）。令应用于w 的第n个这样的命题函数（在选定的符号串顺序下）为Pn（w）。
如果我们愿意的话，可以让编号稍微有点“草率”，这样我们的一些表式可能语法上不正确。（这可使算术编码比在试图略去这种语法不正确的表式时容易得多。）如果Pn（w）是语法正确的，它就是关于两个自然数n和w的定义好的特定的算术陈述。准确的为哪一个算术陈述应依所选取的特定编号系统的细节而定。那是属于论证的复杂部分，在此不予关心。构成系统中的某一定理的证明的一串命题在选定的编序方案中也可用自然数编号。令n ？表示第n个证明。（这里我又一次使用“草率的编号”，对于某些n的值，可能表示式“ ”的语法不正确，并因此没有证明什么定理。） n ？现在考虑如下的依赖于自然数w的命题函数～ 证明 （ ） 。 ？ x＇ P w ＇ x w在方括号中的陈述的一部分使用了文字，但它是完全精确定义的。它断言第x个证明实际上是Pw（）应用于值w本身的命题的证明。方括号之外的被否定的存在量衡用以移走一个变量（“不存在一个x使得……”），这样我们得到了一个只依赖于一个变量w的算术的命题函数。此整个表达式断言不存在Pw（w）的证明。我假定它的语法是正确的（甚至如果Pw（w）
的语法不正确――在这种情形下该陈述仍然是对的，因为一个语法错误的① 存在以日常术语来表述罗素佯谬的十分好笑的方法。想象一个图书馆中有两本目录书，一本目录书刚好列出了所有引用过它们自己的书，另外一本是刚好所有不引用它们自己的书。试问第二本目录书应列到那一本目录书中？表达式是不能被证明的）。由于事实上我们已假设将其转换成算术，所以上面实际上是关于自然数的某一算术的陈述（方括号中的部分为定义得很好的关于两个自然数x和w的算术描述）。该陈述是可以被编码成算术，但这一点并不假设是明显的。为了说明这样的陈述的确可被编码，涉及到哥德尔论证的复杂部分的主要“困难工作”。正和前面一样，它究竟为那个算术陈述将依赖于编号系统的细节，并大大地依�