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图灵机。由于图灵机是可列的，所以可计算的实数也一定是可列的。我们为何不能把对角线删除法应用到该表上以产生一个不在该表的新的可计算数呢？回答是基于这样的一个事实，即我们不能一般地可计算地确定，一台图灵机是否在这表上。
为了做到这一点，事实上也就涉及到我们能够解决停机问题。有的图灵机，可以开始产生一个实数的数位，然而停住而永远不再产生另一数位（因为它“不停止”）。没有可计算的方法去决定哪一台图灵机会以这种方法卡住。这基本上是停机问题。这样，我们对角步骤会产生某实数，这数不是可计算的。这个论证事实上可用于表明不可计算数的存在。图灵用于显示不能算法地解决的，正如在上一章所罗列的各类问题的存在，正是精确地沿用了这种推理方法。我们在后面还会看到对角线删除法的其他应用。实数的“实在性”
我们先不管可计算性的概念。由于实数似乎提供了测量距离、角度、时间、能量、温度或者许多其他几何和物理量的大小，所以被叫作“实”的。然而在抽象定义的“实”数和物理量之间的关系，不像人们所想象的那么一目了然。实数点被当成数学的理想化，而不是任何实际物理客观的量。例如，实数系统具有如下物质，在任何两个实数之间必有另一个实数，而不管该两数靠得多近。人们根本就不清楚，物理的距离或时间是否现实上具有这一性质。如果我们不断地对分两点之间的物理距离，最后就会到达这样微小的尺度，以至于在通常意义下的距离概念本身不再具有意义。人们预料在次原子粒子的1020分之一的“量子引力”尺度下①，这的确会发生。但是为了和实数相匹配，我们就必须走到比它小得任意多的尺度：例如10200分之一，102000分之一或1010200分之一的粒子尺度。人们一点也不清楚，这么荒谬的微小尺度究竟有什么物理意义。类似的议论也适用于相应的微小的时间间隔。
物理学选用实数系统的原因在于它的数学上的可用、简单、精巧以及在非常广大的范围内和距离似及时间的概念相符合。它之所以被选用并不是因为知道它和这些物理概念在所有的范围中都一致。人们还可以预料到，在非常微小的距离或时间的尺度下，不存在这样的一致。人们通常用尺来测量简单的距离，但这样的尺在我们追溯到它们自身原子的尺度时，就变得粗糙起来。这一切并不妨碍我们继续准确地利用实数，但要经过更加精细的处理，才能测量更小的距离。我们至少要有点怀疑，在极小尺度的距离下，也许最终存在有根本原则上的困难。自然对于我们真是恩惠有加，我们从小习惯用于描述日常或更大尺度的事物的同一实数，在尺度比原子小很多，肯定在比“经典”的次原子粒子，譬如电子或质子的经典直径小百倍的尺度下仍然有用，似乎直到比这粒子小二十个数量级的“量子引力尺度”仍然适用。从经验得知，这是极不寻常的推论。熟知的实数距离的概念似乎还可外推到最遥远的类星体以及更远处，至少给出了至少1042也许1060甚至更广的大范围。事实上，实数系统的合适性通常是不可置疑的。我们原先和实数相关的经验主要被限於相对有限的范围，人们为什么对实数于物理精密描述的可用性如此信心百倍呢？这种信念――也许是不当的――必须来源于（虽然这个事实经常不被承认）实数系统逻辑的优雅、一致性和数学的威力以及对自然的深刻数学和谐的信仰。
① 注意1020表示100000000000000000000，也就是1后面跟二十个0。复 数实数系统并没有全揽数学的威力和优雅品格。其中仍有一些讨厌之处，例如只能对正数（或零）而不能对负数取平方根。先不讲和物理世界有直接关系的任何问题，单从数学的观点知道，如果能像处理正数那样对负数求平方根，那就极其方便了。让我们简单地假定，或“发明”数…1的平方根。我们用i来表示它，所以就有i2=…1。
当然i的数量不能是实数，因为任何实数自乘的结果总是正数（或是零，零自乘得零）。由于这个原因，习惯上用“虚数”来称呼其平方为负数的数。正如我早先强调的，“实”数和物理实在的关系不像初看起来那么直接、那么令人信服，这里实际牵涉到数学的无限精细化的理想化，自然并没有先天地保证这种做法的合理性。
一旦有了…1的平方根，就可以不费劲地得到所有实数的平方根。如果a为一个正实数，则量i× a是负实数 的平方根。（还有另一平方根 × 。） 本身又如何呢？ … a i i … a它有平方根吗？它的确有，很容易检验量（1＋ i） 2 ／（以及它的反号）的平方得i。这个数有平方根吗？答案又是肯定的；量（ ） 1 1 2222＋＋ i（1 1 ） － ／ 或者它的反号的平方的确为 ／ 。 （1＋ i） 2我们注意到，在形成这样的量时，我们允许把实数和虚数相加，也允许把我们的数乘任意实数（或除以非零的实数，这相当于乘以它们的倒数）。所得的结果称为复数。复数是具有形式a＋ib的数，这里a和b是实数，分别称作该复数的实部和虚部。将这样的两个数相加和相乘必须遵循通常的代数法则以及i2=…1的规则：
（a＋ib）＋（c＋id）=（a＋c）＋i（b＋d）
（a＋ib）×（c＋id）=（ac…bd）＋i（ad＋bc）。
现在出现了新的鲜明的情况！我们对这个系统的动机是使对任何数都能取平方根。这个目的是达到了，虽然还不这么明显。但是，它做得比这还多得多：取立方根、五次方根、九十九次方根、π次根、（1＋i）次根等等都可以畅通无阻地进行（正如伟大的十八世纪数学家列纳多？欧拉指出的那样）。作为复数的另外一个魔术，我们考察在中学就学到的三角几何中略显复杂的公式，两个角之和的正弦与馀弦公式sin（A＋B）=sinAcosB＋cosAsinB，cos（A＋B）=cosAcosB…sinAsinB，只不过分别是简单得多（也容易记忆得多！）的复方程①eiA＋iB=eiAeiB的虚部和实部。我们在这里所要知道的是“欧拉公式”（该公式显然地也被十八世纪的英国数学家罗杰？可提斯在早许多年就得到）eiA=cosA＋isinA，把它代入前面的方程，其结果的表达式为cos（A＋B）＋isin（A＋B）=（cosA＋isinA）（cosB＋isinB），只要把右边乘出，我们就得到所需的三角关系式。还有任何代数方程a0＋a1z＋a2z2＋a3z3＋…＋anzn=0（此处a0，a1，a2，…，an为复数，an≠0）总有复数的解。例如，存在满足关系z102＋999z33…πz2=…417＋i的一个复数z，虽然这一点绝非明显！这一个普遍的事实有时被称作“代数的基本定理”。不少十八世纪的数学家都为证明这个结果奋斗过。甚至欧拉也没有找到一个满意的一般的论证。后来在1831年，伟大的数学家和科学家卡尔？弗列得里希？高斯给出了惊人的富有创见的论证，并提供了第一个一般性证明。他的证明的关键部分是几何地表达复数，然而利用拓朴学表的论断。
高斯实际上不是使用复数描述的第一个人。瓦里斯在大约二百年前就这么做了，虽然他没有像高斯那样有效地使用这工具。通常把复数的几何表示归功于瑞士的簿记员金？ 罗伯特？ 阿伽德， 他在1806年将其描述出来，尽管挪威的测绘家卡斯帕？温塞尔事实上在早九年就给出了完整的描述。为了和这个惯用的（虽然不是历史上准确的）术语相一致，我将复数的标准几何表示称为阿伽德平面。阿伽德平面是一个通常的欧几里德平面，它具有标准笛卡尔的x，y座标，x标出水平距离（向右为正，向左为负），而y标出垂直距离（向上为正，向下为负）。复数z=x＋iy在阿伽德平面中以座标为（x，y）的点所表示（见图3。8）。
① 量e=2。7182818285…（自然对数的底，其数学上的重要性可和π相比较的无理数）的定义为e=1＋1/1＋1/（1＋2）＋1/（1×2×3）＋…，表 示e的z 次方，ez 可展开为图3。8在阿伽德平面上画出了复数z=x＋iy。
注意0（作为一个复数）由座标系的原点代表，1是由x轴上的特殊的点代表。阿伽德平面为我们把整个复数的家族组织成一个几何上有用的图画。
这类事对我们而言并无新奇之处。我们已经熟悉实数可以组织成为一个几何的图像的方法，也就是一根向两个方向无限延伸的直线。直线上的特定点为0，另一点为1。点2的位置处于它到1的位移和1到0的位移相同的地方；点 处于 和 的中点；点－ 使得 处于它和 的中间等等。以 120 1 1 0 1这种方式标出实数的集合称为实线。对于复数，我们事实上用两个实数作为复数a＋ib的座标，也就是a和b。这两个数给出我们一个平面――阿伽德平面上的点的座标。例如，我在图3。9上近似地标出了复数u=1＋i1。3，v=…2＋i，w=…1。5…i0。4的位置。
现在复数的加法和乘法的基本代数运算具有清楚的几何意义。首先考虑加法。假设u和v为两个复数，并按照上述的方案表示在阿伽德平面上。则它们的和u＋v就由这两点的“矢量和”来表示；也就是说，它处于由u，v和原点0构成的平行四边形的另一顶点。我们不难看出，由这种构造 （图3。10）可以得到和，但是我在这里把证明省略掉。
图3。9阿伽德平面上的u=1＋i1。3，v=…2＋i和w=…1。5…i0。4的位置。
图3。10两个复数u和v的和u＋v可由平行四边形定律得到。
乘积uv也有清楚的几何解释（见图3。11），这稍微不太容易看得出来。（我又在这里省略了证明。）在原点处由1和uv的张角等于1和u以及1和v张角之和（所有角度都按反时针方向测量），uv离开原点的距离是u和v离开原点距离的乘积。这可以等效地叙述为，由0，v和uv形成的三角形与由0，1和u形成的三角形相似，并且具有�