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附近的细丝结构都和早先看到的不同，并以不可置信的复杂的美妙的新景象呈现在我们的面前。使我们目瞪口呆地奇异的、变化多端的、美妙的、复杂的国土究竟为何物呢？许多读者无疑已经知道。但还有一些读者不知道。这世界只不过是一点抽象数学――称为孟德勒伯洛特集1的集合。尽管它无疑是复杂的，却是由极其简单的规则产生的！为了恰当地解释该规则，我首先得解释什么是复数。除了这里以外，在将来还有用。它对于量子力学的结构，所以也就是我们生活其中的世界的运行是绝对基本的。它们构成了数学中的一个伟大奇迹。为了解释何为复数，首先得提醒读者何为“实数”。另外，弄清概念和“真实世界”的实在的关系也是非常有益的。实 数我们知道自然数可被罗列如下：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，…
这些是不同种类数中最初等和最基本的。任何分立的对象都可以用自然数予以量化：我们可以讲田地里有二十七只绵羊，可以讲两次闪电，十二个晚上，一千个词，四次谈话，零个新观念，一个错误，六位缺席者，两次方向改变等等。自然数可以相加或相乘以得到新的自然数。它便是上一章给出的关于算法的一般讨论的对象。
然而某些重要的运算会把我们带到自然数王国之外――最简单的是减法。为了系统地定义减法，我们需要负数；为此目的我们建立了整数的整个系统…，…6，…5，…4，…3，…2，…1，0，1，2，3，4，5，6，7，…。一定的事物，譬如电荷、银行的存款或者年份①可用这类数来量化。然而，这些数的范围仍然过于局限。这是由于把一个数除以另一个数时，我们仍然不能畅通无阻。相应地，我们需要分数或有理数。
0，1，…1，1/2，…1/2，2，…2，3/2，…3/2，1/3，…。
这一些对于有限算术的运算已经足够。但是为了许多更好的目的，我们还得走得更远些，以包括无限或极限运算。例如，大家熟悉的在数学上极其重要的量π就在许多这类无限的表式中出现。我们有如下特例：
π=2｛（2/1）（2/3）（4/3）（4/5）（6/5）（6/7）（8/7）（8/9）…｝以及π=4（1…1/3＋1/5…1/7＋1/9…1/11＋…）。
（这些是著名的表式。 第一式是由英国数学家、 语法学家兼速算家约翰？瓦里斯在1655年首次得到的；而第二式实际上是苏格兰数学家兼天文学家（以及第一台反射望远镜的发明者） 詹姆斯？ 格里高里在1671年得到的。）
正如π那样，以这种方法定义的数不必是有理数（也就是不具有n/m的形式，这里n和m是整数，m不为零）。为了包括这样的量，数的系统必须被推广。
这个推广的数的系统被称为“实”数系统――就是那些可以无限小数展开的熟悉的数，譬如…583。70264439121009538…
按照这样的表述，π可写成众所周知的表式π=3。14159265358979323846…正有理数的平方根（或立方根或四次方根等等）是还能以这种方法表达的数的类型，例如① 实际上，关于年份的通常惯例并不与此完全相符，这是因为零年被忽略去了。2 = 1。41421356237309504…；或者任何正实数的平方根（或立方根等等），正如伟大的瑞士数学家列纳多？欧拉发现的π的表示：
｛ ｝ π ／ ／ ／ ／ ／ … 。 = 6（1＋1 4 ＋1 9 ＋1 16 ＋1 25 ＋1 36 ＋ ）
实数实际上是我们日常必须打交道的数的种类，虽然通常我们仅仅关心它们的近似值，只要展开到很少的几位小数位就满意了。然而，在数学的陈述中我们要准确地指定实数，要求某种无限的诸如整个无穷小数展开的描述，或者也许如上述由瓦里斯、格里高里和欧拉给出的π的其他的无限的数学表达式。（我将通常用小数展开，只是因为这些是最熟悉的。对于数学家而言，存在不同的令人更满意的表达实数的办法，但我们在这里不必为之忧虑。）
人们也许会感到处理全部的无限展开是不可能的。但事情并非如此。
简单的反例是1/3=0。333333333333333…这儿的点表明3的序列将无限地延伸下去。为了处理这个展开，我们所需要知道的是，只要肯定这个展开以同样的3的方式无限地继续下去就行了。任何有理数都有重复（或有限）的小数展开，例如93/74=1。2567567567567567…此处序列567无限地重复下去，而这可以被完全地处理。而表式0。220002222000002222220000000222222220…定义一个无理数，也一定可以被完全处理（每一次0序列和2序列都增加一位）。还能给出许多熟知的例子。在每一种情形下，只要我们知道展开所根据的法则也就满意了。如果有某种产生连续位数的算法，则该算法就提供我们处理整个无限小数展开的方法。其展开可被算法产生的实数称为可计算数（还可参见第59页）。（在这里使用十进位，而不用譬如讲二进位展开，并没有什么深意。）刚才考虑的π和 是可计算数的例子。 2在每一种情况下，仔细叙述这些规则是稍微有些复杂，但在原则上并不难。
然而，在这个意义上还有许多不可计算的实数。我们在上一章已经看到，存在不可计算的但仍为完好定义的序列。例如，我们可取一个小数展开，其n位数取1或取0依图灵机作用到n时停止或不停止而定。一般地讲，对于一个实数，我们仅仅要求必须有某种无限的小数展开。我们不要求是否有一产生第n位数的算法。我们甚至也不要知道在原则上实际定义该n位数的规则2。可计算数是很难纠缠的东西。即使只处理可计算数，人们也不能够使它的所有运算保持为可计算的。例如，甚至一般地去决定两个可计算数是否相等也不是可计算的事体！由于这类原因，我们宁愿处理所有的实数。在这里小数展开可以是任意的，而不必只是可计算序列等等。最后，我应指出，在结尾以无限个接续的9和无限个接续的0展开的实数之间有一等同；例如…27。1860999999…=…27。1861000000…。有多少个实数？让我们喘息一下，来鉴赏在从有理数过渡到实数时所得到的推广的广阔性。最初人们也许会以为，整数的个数比自然数的更多，由于每一自然数都是整数，而某些整数（也就是负的）不是自然数。类似地，人们也会以为分数的数目比整数的数目更多。然而事情并非如此。按照极有创见的俄裔德国数学家――乔治？康托在十九世纪后半叶提出的强有力的美丽的无限数理论，分数的总数目、整数的总数目和自然数的总数目是一同样的前的十七世纪初叶，伟大的意大利物理学家和天文学家伽利雷？伽利略也部分地预料到这一类思想。在第五章将会提到伽利略的其他一些成就。）
人们可用如下建立的“一一对应”的办法来显示整数和自然数具有同样的数目：请注意，每一整数（在左列）和每一自然数（在右列）在表中出现一次并只有一次。在康托的理论中像这样的一一对应的存在建立了左列物体的数目和右列的是一样的命题。这样，整数的数目的确和自然数的数目一样。
在这种情形下数目为无限，但这没关系。（发生在无限数中的仅有的古怪事情是，我们可以从一个表上取走一些数而仍然能找到两个表之间的一一对应！）以某种类似的但更复杂的形式，人们可在分数和整数之间建立起一一对应（为此我们可似采用把一对自然数（分子和分母）代表为一个单独自然数的方法；参阅
第二章47页。）可以和自然数建立一一对应关系的
整数是可列的，所有的分数也是如此。
有没有不可列的集合呢？虽然我们进行了自然数首先到整数、然后到有理数的推广，但是我们实际上并没有增加所处理对象的总数。也许读者已得到印象，以为所有无限集都是可列的。不对，在推广到实数时情况就变得非常不同。康托的一个最重大的成就是，他指出了，在实际上实数比有理数有更多的数目。康托进行论证的办法在第二章被称为“对角线删除法”。这个方法被图灵用来表示图灵机的停机问题是不可解的。康托的论证，正如图灵的办法，是用反证法的步骤。假定我们所要建立的结果是错误的，也就是所有的实数的集是可列的。那么在0和1之间的实数肯定为可列的，而我们存在某种列表，可将实数和自然数之间进行一一配对，譬如我已把对角线上的位数用黑体字写出。对于这一特殊的表，这些位数分别为1，4，1，0，0，3，1，4，8，5，1，…而对角线删除步骤是（在0和1之间）构造一个实数，其小数展开（在小数点后）在每一对应的位数上和这些位数都不同。为了确定起见，让我们讲，只要对角线位数和1不同的都为1，而对角线位数为1的都为2。我们在现在情况下就得到了0。21211121112…
的实数。这个实数不可能出现在我们的表上。这是因为它在（小数点后的）
第一位数上和第一个数不同，在第二位数上和第二个数不同，在第三位数上和第三个数不同等等。由于我们假定这个表包含所有在0和1之间的实数，所以这是一个矛盾。这一矛盾导致我们所要证明的，也就是说，在实数和自然数之间没有一一对应。相应地，实数的数目实际上比有理数的数目更大，因而不是可列的。实数的数目是标为C的无限数。（C的意思是连续统，这是实数系统的另一名字。）人们会问，譬如讲，为何这一个数顺便可以提及，可计算数是可列的。为了数这些数，我们只要顺序列出那产生实数的图灵机（也就是产生实数连续位数的机器）。我们可望从这表中除去产生任何早先出现在表中的实数的图灵机。由于图灵机是可列的，所以可计算的实数也一定是可列的。我们为何不能把对角线删除法应用到该表上以