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你也能拿高薪-第13章

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分数个物品的情况,而此物品又是不可分割的,这就容易使人迷惑。其实,在解答这类问题时,如果我们能换个思维方式,尝试一下逆向思维,往往能有惊奇的发现。    
    分月饼    
    中秋节到了,班级里买回了一箱月饼准备分给同学们。第1个同学取走了1块月饼和剩余月饼的1/9,第2个同学取走了2块月饼和剩余月饼的1/9,第3个同学取走了3块月饼和剩余月饼的1/9,第4个同学取走了4块月饼和剩余月饼的1/9,依次类推,把全部月饼一点不剩地分配给了全部同学。    
    请问班级共有多少个同学,共有多少块月饼?    
    分析与解答    
    此题需逆向思考。    
    最后一个同学取走的月饼数目应与全班的人数相同。他前面一个同学取走全班人数减1块月饼和剩余月饼的1/9。由此可知最后一个同学得到的是剩余月饼的8/9。即,在最后一个同学取月饼的时候,剩余月饼应是8的倍数。    
    假设最后一个同学取走的是8块月饼。那么,全班共有8个同学。第7个同学取走7块月饼再加上剩余9块月饼的1/9共8块月饼。第7、第8个同学一共取走16块月饼,这应该是第6个同学取走6块月饼后剩余月饼的8/9。我们可以得到第6个同学取走6块月饼后剩余的月饼数为16/(8/9)=18。第6个同学取走的月饼数为6+18/9=8。    
    第5个同学取走5块月饼后剩余月饼的8/9为8+8+8=24块。则第5个同学取走5块月饼后剩余的月饼数为24/(8/9)=27块。第5个同学共取走5+27/9=8块月饼。    
    第4个同学取走4块月饼后剩余月饼的8/9为8+8+8+8 =32块。则第4个同学取走4块月饼后剩余的月饼数为32/(8/9)=36块。第4个同学共取走4+36/9=8块月饼。    
    第3个同学取走3块月饼后剩余月饼的8/9为8+8+8+8+ 8=40块。则第3个同学取走3块月饼后剩余的月饼数为40/(8/9)=45块。第3个同学共取走3+45/9=8块月饼。同样,第2、第1个同学也分别取走8块月饼。    
    综上所述,每个同学都取走8块月饼。因此,共有8个同学,64块月饼。    
    分苹果    
    小咪家里来了5位同学。小咪的爸爸想用苹果来招待这6位小朋友,可是家里只有5个苹果。怎么办呢?只好把苹果切开了,可是又不能切成碎块,小咪的爸爸希望每个苹果最多切成3块。这就成了又一道题目:给6个孩子平均分配5个苹果,每个苹果都不许切成3块以上。     
    小咪的爸爸是怎样做的呢?    
     分析与解答    
    苹果是这样分的:把3个苹果各切成两半,把这6个半边苹果分给每人1块。另2个苹果每个切成3等份,这6个1/3苹果也分给每人1块。于是,每个孩子都得到了一个半边苹果和一个1/3苹果,6个孩子都平均分配到了苹果。    
    半张唱片    
    张三和李四都热衷于解难题,他们的最大乐趣就是彼此用难题难住对方,或难倒他们的朋友。    
    有一次,张三和李四经过一家唱片店。     
    这时,张三问李四:“你是不是还有西部乡村音乐的唱片?”    
    李四说:“没有了,我把我唱片的一半和半张唱片给了小赵。”    
    李四接着说:“然后我把我剩下的另一半,加上半张给了小吴。”    
    李四:“这样我就只剩下一张唱片了,如果你能告诉我原先我有几张唱片,我就把这最后一张送给你。”    
    张三真的被难倒了,因为他实在想不出这半张唱片有什么用处!     
    你能帮他解决这个难题吗?    
     分析与解答    
    此题很容易使人掉入东西的一半再加上1/2,不可能等于一个整数的陷阱里。    
    如果走入这个迷宫,就难见天日了!     
    这题的关键在于:奇数唱片的一半,再加上半张唱片,正好是个整数。    
    由于李四最后一次送出唱片后剩一张。他在给小吴1张之前,至少有3张。3的一半是,加上1/2等于2,所以李四最后送出了2张。现在很容易倒算回去,他原先有7张唱片。    
    


第2章 数学趣题解析3。 数字问题

    猜数字…1    
    一个教逻辑学的教授,有三个学生,而且三个学生都非常聪明。    
    一天教授给他们出了一个题,教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们,每个人的纸条上都写了一个正整数,且某两个数的和等于第三个。(每个人可以看见另两个数,但看不见自己的。)    
    教授问第一个学生:你能猜出自己的数吗?回答:不能。    
    问第二个,不能。    
    第三个,不能。    
    再问第一个,不能。    
    第二个,不能。    
    第三个:我猜出来了,是144!    
    教授很满意的笑了。请问你能猜出另外两个人的数吗?请说出理由!    
     分析与解答    
    答案是:36和108    
    思路如下:    
    首先,说出此数的人应该是两数之和的人,因为另外两个加数的人所获得的信息应该是均等的,在同等条件下,若一个推不出,另一个也应该推不出。(当然,我这里只是说这种可能性比较大,因为毕竟还有个回答的先后次序,在一定程度上存在信息不平衡)    
    另外,只有在第三个人看到另外两个人的数是一样时,才可以立刻说出自己的数。    
    以上两点是根据题意可以推出的已知条件。    
    如果只问了一轮,第三个人就说出144,那么根据推理,可以很容易得出另外两个是48和96,怎样才能让老师问了两轮才得出答案了?这就需要进一步考虑:    
    A:36(36/252)B:108(108/180)C:144(144/72)    
    括弧内是该同学看到另外两个数后,猜测自己头上可能出现的数。现推理如下:    
    A,B先说不知道,理所当然,C在说不知道的情况下,可以假设如果自己是72的话,B在已知36和72条件下,会这样推理——“我的数应该是36或108,但如果是36的话,C应该可以立刻说出自己的数,而C并没说,所以应该是108!”然而,在下一轮,B还是不知道,所以,C可以判断出自己的假设是假的,自己的数只能是144。    
    猜数字…2    
    老师从1~50之间(大于1小于50)选了两个自然数,将两数之积告诉同学P(Product),两数之和告诉同学S(Sum),问两位同学能否推出这两个自然数?    
    S说:我知道你不知道这两个数,但我也不知道。    
    P说:我还是不知道。    
    S说:我知道这两个数啦!    
    P说:我也知道啦!    
    其他同学:我们也知道啦!    
    ……    
    问:老师选出的两个自然数是什么?    
     分析与解答    
    说话依次编号为S1,P1,S2,P2。    
    设这两个数为x,y,和为s,积为p。    
    由S1,P不知道这两个数,所以s不可能是两个质数相加得来的,而且s29,那么P拿到29´;(s…29)必定可以猜出s了。所以和s为{11,17,23,27,29}之一,设这个集合为A。    
    由P1,乘积p必定含有因子2,而且含有两个质因子,而且最大的质因子不可能大于7,(假如含有因子11,就会有p至少是11´;2´;3,拆成11´;6或者22´;3不满足条件,假如含有因子13,就会有p至少是13´;2´;3,拆成13´;6或者26´;3也不满足条件),这条规则有助于简化和s的拆分。    
    (1)假设s=11。    
    11=2+9=5+6,有18=2´;9=3×6,只有2+9落在集合A中,P不会说出P1。而30=5´;6=2´;15,11和17都落在集合A中,所以只有这一种情况会令P说P1,所以S拿到11可以断言S2。但是问题在于P会说出P2的话,必须要s=17时S说不出S2才行。    
    下面看看s=17的情况,17=2+15=3+14=5+12=7+10= 8+9,由于p=2´;15=5´;6或p=3´;14=2´;21都会令P说出P1,所以s=17时S说不出S2。    
    所以s=11,p=30,这两个数是5和6的时候满足条件    
    (2)假设s=23,    
    23=2+21=3+20=5+18=8+15=9+14,由于p=9´;14=6´;21或p=3´;14=2´;21都会令P说出P1,所以s=23时S说不出S2。    
    (3)假设s=27,    
    27=2+25=3+24=6+21=7+20=9+18=12+15,由于p=6´;21= 9´;14或p=12´;15=9´;20都会令P说出P1,所以s=27时S说不出S2。    
    (4)假设s=29,29=2+27=4+25=5+24=8+21=9+20=14 +15,由于p=9´;20=12´;15或p=5´;24=15´;8都会令P说出P1,所以s=27时S说不出S2。    
    综上所述:这两个数只可能是5和6。    
    数字找规律    
    11,21,33,45,55,61,?    
     分析与解答    
    正确答案:61    
    原则是:    
    1.求下一个数的时候,已知的最后一个数应为10进制的。    
    2.从11开始,按5进制、6进制、7进制……的顺序求下一个数,也就是11的5进制为21,21的6进制为33,33的7进制为45……,55的9进制为61。    
    符号问题    
    定义一种新运算*    
    已知:2*4=8    
    3*5=11    
    5*3=13    
    9*5=25    
    求3*7=?    
     分析与解答    
    3*5和5*3得数差2,所以有两条思路:    
    8…2=6    
    11…3=8    
    13…5=8    
    25…9=16    
    8+4=12    
    11+5=16    
    13+3=16    
    25+5=30    
    然后就从第一条思路凑出来的。a*b=2*(较大数…1)+a,所以3*7=2*(7…1)+3=15。    
    

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