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第二部分第4节
6、三角形的篇章
＇三角形章节＇的功能
尼罗河年年泛滥，却给埃及带来了适宜农作物生长的肥沃的土地和三角形。
和三角形有什么关系呢？
这是因为每次治好河水泛滥后，就要重新开始土地的测量及划分。那时为了测量直角，使用分出12等份的绳子，各边的比例为3：4：5，然后用三个人拉住绳子，做成直角三角形。
要说三角形的智力题我感觉和做几何差不多。然而在几何和三角形的智力题里，即使使用同样的图形、同样的立体，但是所采用的方法在根本上是有差异的。
几何是用对图形的感觉和思考力来解的，但智力题是凭着对图形的感觉（这一点相同）、直觉能力和想象力来解的。用灵活的想象力和瞬间的一个灵感，就找到了意想不到的解决问题的方法。这真是培养这些能力的难得的好教材。
1、有多少个平行四边形？ 15分
问题
在下图当中含有多少个平行四边形？
（图略）
提示
经常有计算漏下和重复的。请注意平行四边形的大小和方向。
解题 有多少个平行四边形？
根据平行四边形的大小和方向调整。假设最小的平行四边形的面积为1，
1、面积为1的
如右图，有三种样式。由于各自有6个，所以 3×6=18
2、面积为2的
共有六种样式。由于各自有3个，所以 6×3=18
3、面积为3的
共有六种样式。由于各自有1个，所以 6×1=6
4、面积为4的
共有三种样式。由于各自有1个，所以 1×3=3
以上合计18＋18＋6＋3=45
答案
45个平行四边形。
2、折过来的角 15分
问题
把正三角形的纸如图那样折回来时，角？的度数是多少度？
提示
折过来的部分的三角形和折回来部分的三角形是全等的。这是当然的啦。
解题 折过来的角
三角形GEH、三角形HBF各角的度数如图所示。由于三角形CDF和三角形DEF是全等三角形。所以角DFC的度数是角EFC的一半。因为角EFC等于 180度…28度=152度，所以，角DFC的
度数为76度。
答案
76度。
小知识
三角形的内角之和是180度。
那么我们想想看，普通n角形的内角之和是多少度呢？由于无论是什么样的四边形都可
以分成两个三角形。所以，四边形的内角和是 180度×2=360度。五角形可以分3个、六角形
分4个三角形。由于普通的n角形可以分成（n…2）个三角形，所以n角形的内角之和等于
180度x（n…2）（但是n大于等于3）
（图略）
3、三角关系 30分
问题
如图所示，在并排三个正方形内画三个三角形。这时，在角p、角q、角r之间会成为什么
样的关系？
（图略）
提示
很明显，角r=45度。
解题 三角关系
如图所示（图略），和EH对称排列三个正方形，画三个三角形。
角IBE是直角（90度…角q＋角q），并且IB边和BE边长度相同，所以三角形IBE是等边直角三
角形。
因此 角p＋角q=45度
另外 因为角r=45度
所以 角p＋角q=角r
答案
角p＋角q=角r
小知识
阿拉伯的数字家萨必德·伊本·克莱（836～901），由于对毕达哥拉斯的“ 勾股定理”只适用于直角三角形有不同见解， 所以，为了所有的三角形都能适用，他尝试着将其一般化。
在不是直角三角形的三角形ABC上，从顶点A画线B'和C'至底边BC上，使角AB'B和角AC'C各自等于角BAC。
于是 （算式省略）
因为 三角形BAC、三角形BB'A、三角形CC'A是相似三角形，所以
BC：AC：AB=AC：CC'：AC'
=AB：AB'：BB'
在这里 （算式省略） 根据 （算式省略）
并且 （算式省略） 根据 （算式省略）
把两个算式相加足以证明了阿拉伯数字家的论点。
（图略）
提高能力
毕达哥拉斯三角形
直角三角形的时候，根据勾股定理，算式1成立。
（算式省略）。。。。。。1
把像算式（算式省略）这样的三个边长都是整数的直角三角形叫毕达哥拉斯三角形。试着做一
做，看看怎样把毕达哥拉斯三角形的三个边（a，b，c）代入公式，求出结果。
把1的两个边用b的平方来除的话，算式为
（算式省略）
因此 （算式省略）
在这里设 ＋ = ＋ =
（相乘时得1。m是大于n的整数）
根据（前式）－（后式）得出
（算式省略）
a是整数时，b=2mn， 所以把毕达哥拉斯三角形的三个边（a，b，c）代入公式（m是大于n的整数），即（算式省略）
（例）
a 3 5 15 7 21 35 9 45 11 63
b 4 12 8 24 20 12 40 28 60 16
斜边 5 13 17 25 29 37 41 53 61 65
4、爬在圆筒里的虫子 15分
问题
在高10cm的圆筒底部有一条小虫，我们假设这条小虫沿着与圆筒表面成30度角的一条直
线往上面爬行。
请问爬到上面要多少cm？
提示
和圆筒的半径没有关系。
解题 爬在圆筒里的虫子
我们可以考虑成小虫爬在高10cm 、角度为30度的直角三角形的斜边AB上面。
AB=10×2=20cm
（图略）
答案
20cm
小知识
如果不是圆柱、而是＇高10cm的圆锥＇的情形时是怎样的呢？
只要是以30度的角度在一条直线上行进，就和圆柱的情况一样。
5、封闭四边形 30分
问题
在平行四边形ABCD外部取任意一点P。三角形ABP和三角形DCP的面积之差是多少平方cm呢？
（图略）
提示
请参考平行四边形面积的求法。
解题 封闭四边形
如下图所示，把三角形ABP的高设为H＋h、三角形DCP的高设为h，那么
三角形ABP的面积=底边ABx高（H＋h）除2
三角形DCP的面积=底边CDx高h除2
=底边ABx高h除2
因此，两个三角形的面积之差是
三角形ABP的面积…三角形DCP的面积
=底边ABx高（H＋h）除2…底边ABx高h除2
=底边ABx高H除2
由于底边ABx高H等于平行四边形ABCD的面积，所以
三角形ABP的面积…三角形DCP的面积
=底边ABx高H除2
=（算式省略）
（图略）
6、星形角之和 30分
问题
求星形尖端的角度之和。
（图略）
提示
请参考三角形的两个内角和等于另一角的外角。（图略）
解题 星形角之和
如图所示，现在我们把星形尖端角的度数设为角a、角b、角c、角d、角e。
（图略）
我们如果注意到三角形BGD的内角角b、角d的另一角的外角的大小等于角a＋角d，并且三角形CEF的内角角c、角e的另一角的外角的大小等于角c＋角e。那么三角形AFG的内角和用下列算式可以表示。
（算式省略）
答案
180度
7、摸壁竞赛 30分
问题
从点A出发到X、Y的墙壁上摸一下墙，然后跑回终点B，比赛看谁跑得快。
怎样跑最先能到终点呢？而且，最近的距离是多少米？
（图略）
提示
可以考虑从终点B往回跑跑看。
解题 摸壁竞赛
我们可以考虑以Y线为中轴，找出点B的对称点B'、再以X的延长线为中轴找出点B'的对
称点B〃。
首先，从点A开始跑，到摸着墙壁X时是向B〃的方向跑的，在点P处摸到墙壁X。
然后，从点P开始跑，到摸着墙壁Y时是向B'的方向跑的，在点Q处摸到墙壁Y。最后，从点Q朝着终点B跑。
结果跑的距离和从点A到点B〃的距离相同。这是最短的距离。这个距离的长度根据三平
方定理可以得出是1300米。
（图略）
答案 1300米
第二部分第5节
7、圆的篇章
＇圆的章节＇的功能
为什么鸡蛋的形状接近球形呢？那是因为球形在表面面积相同的情况下，
可以有最大的内部面积。同样，圆形在周长相同的情况下，也可以得到最
大的内部面积。
那么接下来的问题就简单了。
国王给三个王子一根1000米长的绳子，让他们各自用绳子圈出自己认为是最大的土地
并且以此判断皇位的继承人。
首先大儿子圈出一个长400米、宽100米的长方形。
看到老大圈出的长方形，二儿子圈出一个边长为250米的正方形。国王看到后夸奖说
“和我想的一样”。
然而，继承王位的却是最小的儿子。那么小皇子是怎么圈的地呢？
圆的问题所达到的效果和三角形问题一样，都是在磨练我们对图形的感觉、直感能力
以及想象能力。
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