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＋n m 2 …
2n2）（9m5
24
…n2
c5m＋ 。，
4 ·5！m r
vn =
n22 ＋
n2（m2 …
4n2）
（2vm）2
m4！mr
n2（m2 …n 2）（4m2 …n2） 3
＋
6！m r
＋（2v ） ＋ 。。
62 m
由这两个公式可推导出明安图的九个公式和董■诚的四个公式，其中
包括正弦和反正弦的幂级数展开式，正矢和反正矢的幂级数展开式以及圆
周率π的无穷级数表达式等。
项名达的另一项成就是得到求椭圆周长的公式
1 212 ·3 412 ·32 ·56
p=2 a1…e…e…e…。），
π（
22 22 ·42 22 ·42 ·62
a2 …b 2
式中为椭圆周长，为椭圆离心率，P e e2=2 ， 与为椭圆半长轴与半
ab
a
短轴。这是中国在二次曲线研究方面最早的重要成果。他还据此推出圆周
率倒数公式：
11 112 ·3 12 ·32 ·5
π
=
2
（1 …
22 …
22 ·42 …
22 ·42 ·62 …。。
）
项名达与戴煦还共同讨论求二顶式n 次根的简法，在《开诸乘方捷术》
中创立了逐次逼近法以及用来开n 次方的递推公式
n
nak =
ak
（n …1）akn ＋ A ak＋1
（当a1n 稍大于A时，k=1 ，2，3，。），
nA ak
=
（n＋1）A…akn ak ＋1
（当a1n 稍小于A时，，23
k=1 ， ，。）。
按上述公式逐次求得的ak＋1 ，即为nA的准确到不同程度的近似值。他
还提出了幂指数为1 的二项式定理，戴煦后来在此基础上发现有理指数幂
n
二项式定理。《勾股六术》与《三角和较术》内容浅显易懂，是项名达为
初学者撰写的数学入门书。在这两卷书中，对于勾股形、平面三角形及球
面三角形的各边及其和、差的互求关系，做了较系统的分类与总结。
项名达在哲学思想上崇尚陆王心学，取法于罗洪先和罗汝芳，主静，
甘淡泊，提倡致良知。他一生淡于功名利禄，乐于教授生徒，尤其醉心于
研究数学，几乎达到了废寝忘食的地步。他的一位朋友形容他“时虽寒暑
饥渴不暇顾，苟有得，则欣然意适，若无可喻于人”。在数学思想上，项
名达主张中西术“须一体视之，不可有门户之见”。他认为研究数学最可
贵的就是要有创造精神，要能够“推见本原，融会以通其变，竟古人未竟
之绪，而发古人未发之藏耳”。从根本上说，他所追求的目标是具有一般
性和抽象性的结果，这在推导二项展开式，弦矢公式及椭圆周长公式的思
路和方法上都有所体现，并在不少方面接近了微积分学。他的关于多维几
何体的想法，甚至可以说超越了所处的时代。项名达是一位学识渊博的学
者，很受当时学术界，特别是数学界的敬重。他与许多数学家都相友善，
尤其与戴煦是忘年交。他的学生夏鸾翔也是一位著名数学家。晚清时期最
负盛名的数学家如李善兰、华蘅芳等都曾对项名达的工作给予高度的评
价。
文献
原始文献
＇1＇（清）项名达：象数一原，上海赵氏《高斋丛刻》本，1888。＇2＇
（清）项名达：下学庵算术三种，1887。
研究文献
＇3＇（清）诸可宝：畴人传三编·卷三，商务印书馆重印本，1955。
＇4＇汪远孙：国语发正·国语中·晋语四，见《皇清经解续编》南菁书
院本。
＇5＇李俨：明清算家的割圆术研究，见《中算史论丛》第3 集，科学出
版社，1955。
＇6＇李俨：中算家的圆锥曲线说，同上。
＇7＇钱宝琮主编：中国数学史，科学出版社，1964，第301—312 页。
＇8＇钱宝琮：中国算书中之周率研究，见《钱宝琮科学史论文选集》，
科学出版社，1983。
＇9＇何绍庚：项名达对二项展开式研究的贡献，自然科学史研究，1（1982），2，第104—114 页。
＇10＇何绍庚：椭圆求周术释义，见《科学史集刊》第11 集，地质出版
社，1984。
＇11＇川原秀成：中国■无限小解析，京都大学人文科学研究所研究报
告，1989，第223—316 页。
董■诚
李兆华
董■诚字方立。江苏阳湖（今常州）人。清乾隆五十六年五月二十
日（1791 年6 月21 日）生；道光三年七月二十八日（1823 年9 月2 日）
卒。数学。
董■诚少时正值家道中落，常为衣食奔走。1817 年，其兄董基诚中进
士，董■诚随兄客居北京，境遇有所好转。1808 年，董■诚始与同里张惠
言之子张成孙共同研治经史、数学，历时二载。此后八九年便是“足迹半
天下”的谋生生涯。所到之处，山川形势，采览所及，历历志之，学识得
以长进。1811 年，赴陕西途出凤台（今安徽寿县）与李兆洛相识。1814
年，与其兄及张成孙同游青浦（今上海青浦县），历时一载。1815 年，开
始地理学的研究。1818 年客居北京。是年，中顺天乡试。以后则屡试不第。
居京之后，其主要精力已转向数学研究与著述。董■诚于贫困之中“特善
深沉之思”，年华不永而才华出众。所撰游陕西成华山神庙赋一时传诵，
数学、历法、地理等方面亦皆有作品传世。董基诚将其遗稿选编为《董方
立遗书》9 种16 卷。今通行者有同治八年董方立之子贻清成都翻刻本等版
本，计有《割圆连比例图解》 3 卷（1819），《椭圆求周术》 1 卷（1821），
《斜弧三边求角补术》 1 卷（1821），《垛积求积术》1 卷（1821），《三
统术衍补》1 卷，《水经注图说残稿》4 卷（约1815 年），《文甲集》2
卷，《文乙集》2 卷，《兰石词》1 卷。
董■诚的主要成就在数学方面，《割圆连比例图解》3 卷为其代表作。
自法国人杜德美（p。Jartoux，1668—1720）将π、sinx、versx 等三个幂
级数展开式传入中国之后，幂级数的研究遂成为中国数学一个相当活跃的
研究领域。梅■成《赤水遗珍》最先记载杜氏三术。明安图另创六术并以
《数理精蕴》下编卷十六介绍的连比例四率法为基本方法对九术予以推
导。明氏的工作由其弟子陈际新于1774 年整理成《割圆密率捷法》4 卷并
于1839 年出版。出版之前，该书已有少数抄本流传而通常所能见到的只是
梅氏所载三术。董■诚认为，梅氏所载“语焉不详，罕通其故”，欲另创
通法，而“覃精累年，迄无所得”。其时，董■诚客居北京，常与秀水朱
鸿讨论数学。1819 年春，朱鸿以九术抄本出示董■诚，“九术之外，别无
图说”。据此，董■诚“反复寻绎，究其立法之原”，成《割圆连比例图
解》3 卷。该书主要结果为“有通弦，求通弧加倍几分之通弦”，“有矢，
求通弧加倍几分之矢”，“有通弦，求几分通弧之一通弦”，“有矢，求
几分通弧之一矢”等四个展开式。用现代符号可记为
（2n …1）＇（2n …1）2 …12＇ 3
l2n…1 = （2n …1）l …2l
3！4r
（2n …1）＇（2n …1）2 …12 ＇＇（2n …1） 2 …32＇ 5
＋
5！42r4
l …。，
b2n =
n2
（2b） …
n2（n 2 …12）
（2b）2 ＋
2！ 4！r
n 2（n2 …12 ）（n2 …22） 3
＋
6！r2 （2b） …。，
l = （
l2n…1） ＋ ＇（2n …1）2 …1＇
（
l2n…1 ）3 ＋
2n …13！4r2 2n …1
2 2
＋ ＇（2n …1） …1＇＇ （ 9 2 n …1） …1＇
（
l2n…1 ）5 ＋ 。，
5！42r4 2n …1
1 2b2n （n2 …12） 2b2n 2
b = （） ＋ （） ＋
2！ n2 4！r n2
22 2 2
＋ （n …1 ）（4n …1 ）
（
2b2n）3 ＋ 。，
6！r2 n2
其中l 为通弦，l2n…1 为倍分弦，b 为矢，b2n 为倍分矢，r 为圆半径。董■
诚以连比例四率法并结合中国传统数学的垛积求积术求得前两式，又以级
数回求法得后两式。
《割圆连比例图解》3 卷在明安图的工作之后而在项名达与徐有壬的
工作之前，有继往开来之功。董氏四术为明氏九术的“立法之原”，即由
此四术可推得明氏九术。项名达《象数一原》（1843）将此四术精确化并
概括为二术。徐有壬由此四术导出大小弦互求，大小矢互求四术，进而给
出大小八线互求十八术，共二十二术，使得三角函数的幂级数展开式大体
完备。
文献
原始文献
＇1＇（清）董■诚：董方立遗书，成都重刊本，1869。
＇2＇（清）李兆洛：董方立传，见《养一斋文集续集》卷五，维风堂活
字本，1843。
研究文献
＇3＇赵尔巽：清史稿·卷四八六·董■诚传，中华书局，1977。
＇4＇（清）罗士琳：畴人传续编·卷五十一·董■诚传，商务印书馆，
1955。
＇5＇李俨：明清算家的割圆术研究（十六），见《中算史论丛》第3
集，科学出版社，1955。
＇6＇钱宝琮：中国数学史，科学出版社，1964。
＇7＇李兆华：董■诚的垛积术与割圆术评述，见《中国数学史论文集》
（三），山东教育出版社， 1987。
魏源
艾素珍
魏源原名远达，号良图，字默深、墨生，又字汉士，法名菩萨戒弟
子魏承贯。湖南人。清乾隆五十九年三月二十四日（1794 年4 月23 日）
生于湖南隆回；咸丰七年三月一日（1857 年 3 月26 日）卒于杭州东园僧
舍。地理学。
魏源祖籍江西，元末移居湖南长沙，明永乐年间迁居至湖南邵阳。魏
源的祖父孝立公（1732—1804）承其祖业，农商互补，家庭比较富裕。孝
立公为人慷慨好施。魏源的父亲魏邦鲁（1768—1831）性慷慨，好读书和
游览。历任江苏嘉定、吴江等地巡检，宝山水利主簿等职。魏源为其第二
子。魏源幼年时，家道中落，生活十分困难。魏源自小爱读书。6 岁进私
塾。家贫，夜燃豆秸，母织子读。9 岁，应县童子试，因以“腹内孕乾坤”
对“杯中含太极”�