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＇9＇邹正和：徐大椿著作真伪考，中医杂志，1985，4，第76—77 页。
明安图
何绍庚
明安图字静庵。蒙古正白旗人。生年不详；约清乾隆二十九年（1764
年）卒。数学、天文学。
明安图，蒙古族，少年时为官学生，后被选拔进入钦天监专门学习天
文、历法和数学，受到良好的科学训练。当时康熙皇帝热衷于学习和研究
科学技术，经常请传教士介绍西方科学知识，有时还亲自向皇家子弟讲授。
因此，明安图也常有机会以官学生身分入宫听讲。他的学生陈际新曾说道：
“明静庵先生自童年亲受数学于圣祖仁皇帝，至老不倦。”他勤奋学习，
刻苦钻研，成绩突出，因而得到康熙皇帝的赏识。康熙五十一年（1712）
夏，康熙偕皇太后至承德避暑山庄避暑，有一批著名科学家（如梅■成、
陈厚耀、何国宗等）随行，明安图是随行人员中唯一列名的官学生。在驻
地，君臣之间如同师生一样就天文数学问题进行问答。官学生结业后，他
毕生从事天文工作，曾任钦天监时宪科五官正近 40 年，主要负责推算日
月五星运行，编订时宪书（民用历书），以及主持时宪书满蒙文本的翻译
等。乾隆十七年（1752）擢兵部郎中留任钦天监五官正。乾隆二十四年
（1759），升任钦天监监正。乾隆二十八年十一月（1763 年12 月），钦
天监进呈皇帝批阅的题本不见明安图署名，可能在此前后，他已因病离职。
明安图在数学上有很高造诣，特别是对三角函数和反三角函数的幂级
数展开式问题进行过深入研究，做出了杰出贡献，著有《割圆密率捷法》
一书。这部数学专著共4 卷：卷一“步法”，罗列出所得到的各无穷级数
公式；卷二“用法”，系各公式在数学和天文学上的应用；卷三、四为“法
解”，阐述各公式的证明方法。他的成果可用现代数学符号表示成下列九
个公式：
（1）圆径求周
ì 12 12 ·32 12 ·32 ·52 ü
π = 31 ＋＋ 2 ＋ 3 ＋ 。；
。 4·3！ 4 ·5！ 4 ·7！ t
■图1 弦矢关系示意图
（2）弧背求正弦图1 弦矢关系示意图
357
r sin
a = a …a ＋ a …a ＋ 。；
r3！r2 5！r4 7！r6
（3）弧背求正矢
24 6
rvers
a = a …a ＋ a …。；
r2！r4！r3 6！r5
（4）弧背求通弦
（2a）3 （2a）5 （2a）7
c = 2a …2 ＋ 24 …36 ＋ 。；
4·3！r4 ·5！r4 ·7！r
（5）弧背求矢
（2a）2 （2a）4 （2a）6
b =…23 ＋ 35 …。；
4·2！r4 ·4！r4 ·6！r
（6）通弦求弧背
c3 32c5 32 ·52 c7
2a = c ＋＋＋ ＋ 。；
4·3！r2 42 ·5！r4 43 ·7！r6
（7）正弦求弧背
r
a）3 12 ·32 · r
a5
（sin （sin ）
a = r sin
a ＋ 4 ＋ r ＋ 。；
r3！r2 5！r4
（8）正矢求弧背
ì 2rversa
12（2rversa）2 12 ·22 （2rvers
a
） 3 ü
a2 = 2írr ＋ r ＋ 4 ＋ 。；
。 2！ 4！ 6！r 。
（9）矢求弧背
（2a） 2 = 2
ì
r·
8b
＋
（8b）2
＋
12 ·22 ·（8b）3
＋ y
ü
í 。。
。 2！ 4·4！ 42 ·6！r t
如图1，式中r 为圆半径，c 为AD 弦长，a 为AC 弧长，2a 为AD 弧长，b
为BC 中矢长。在公式（1）至（9）中，主要的是五个公式，即（1），
（ ），（ ），（ ），（ ）。如分别以弧度378 x=
a 或x = sin
a ，x = 2vers
a
2
rr r
表示，则公式（2），（3），（7），（8）即可化为现在通用的三角函数
幂级数展开式：
sinx = x …1
x3 ＋ 1
x5 …1
x7 ＋ 。，
3！ 5！ 7！
versx = 1
x2 …1
x4 ＋ 1
x6 …。，
2！ 4！ 6！
1 312 ·32
512 ·32 ·52
7
arcsinx = 1 ＋ x ＋ x ＋ x ＋ 。，
3！ 5！ 7！
ì 2 22 222 ü
（arcvers ） = 2x ＋ x ＋ x ＋ x ＋y
x2 í
1 121 ·2 31 ·2 ·34 。。
2 。2！ 4！ 6！ 8！ t
在清代相当长的一段时间里，上述九个公式曾被称为“杜氏九术”，
这是不恰当的。其中原委几经周折才为人们所了解。实际上，π的无穷级
数表达式，即公式（1），是牛顿发现的，正弦和正矢的幂级数展开式，即
公式（2）和（3）是英国数学家J。格雷戈里（Gregory，1638—1675）发
现的。清初，法国传教士杜德美（P。Ja…rtoux，1668—1720）来华，把这
三个公式介绍给中国学者。著名数学家梅文鼎之孙梅■成将其收入《梅氏
丛书辑要》的附录《赤水遗珍》，并分别称为“求周径密率捷法”和“求
弦矢捷法”。这三个公式是西方数学中较新的成果，它以与中国传统数学
截然不同的形式和内容，为计算圆周率和三角函数值提供了新的算法，向
中国数学界展示了一个新的广阔的领域，因而受到许多中国数学家的欢迎
和重视。另一方面，杜德美虽然传入了这些公式，但他并没有给出证明，
没有介绍公式的推导方法，所以给当时的数学工作者掌握和运用这些知识
带来一定的困难。显而易见，只有几个孤零零的公式，并不能使人信服，
更不能反映这种方法的实质，正如有人所说的“特未详立法之根，学者恒
苦莫抉其旨”，甚至还有人产生了怀疑和误解，指责这种方法只不过是“巧
合”。当时一些优秀数学家出于理论和实践的需要，并不满足于盲目引用
片断的公式，而是想方设法积极了解这些公式成立的道理，探索它们的证
明方法，力求真正理解外国的先进成果，使之变成自己手中运用自如的工
具，这也正是明安图深入研究无穷级数问题的起因。
明安图青年时代曾与梅■成一起工作，并且很可能与杜德美有所接
触，因此他很早就知道了杜德美传入的三个公式。在钦天监的繁忙工作之
余，他致力于研究这些公式的证明方法。经过30 余年的不懈努力，他融会
贯通了中国传统数学知识与刚刚传入的西方数学知识，圆满地证明了公式
（1），（2），（3），同时还得到另外六个公式。明安图在推导这些公式
的过程中，创立了割圆连比例法和级数回求法这两种重要的数学方法。割
圆连比例法的中心思想是把任意弧n 等分，根据相似三角形对应边成■比
例的关系，得出一系列比例关系式，求出相应折线的长度，然后用折线逼
近圆弧，从折线与弦矢的关系导出弧与弦矢的关系（见图2）。具体运算
的着眼点则在于推算无穷级数各项系数。级数回求相当于级数反演，是求
反函数展开式的一种有效方法。他的工作在数学原理方面体现了曲直互通
思想，及从有限到无穷的认识上的飞跃。他所独立得到的六个公式中，有
些也是比较先进的。例如，牛顿在1666 年通过无穷级数逐项积分的方法，
推导出arcsinx 的幂级数展开式，而在1669 年又用级数回求法给出这一公
式。日本数学家建部贤弘（KatahiroTakebe），在1722 年采用与明安图不
同的分析方法得到了同一公式。关于反正矢平方的幂级数展开式，是1737
年L。欧拉（Euler）在给伯努利（Bernoulli）的一封信中提出的，但直到
1817 年这一公式才由另外的人公开发表。明安图发现公式（7），在时间
上要比牛顿和建部贤弘晚些，发现公式（8），则几乎与欧拉同时，而正式
发表的时间却要早些。
图2 割圆连比例法示意图
明安图的数学成就总结在《割圆密率捷法》一书中。这部书在他生前
只完成一部分，他在晚年病危时，将手稿交给小儿子明新，并转嘱他的学
生陈际新说：“此‘割圆密率捷法’也。内圆径求周，弧背求弦，求矢三
法，本泰西杜德美氏所著，实古今所未有也。亟欲公诸同志，惜仅有其法
而未详其义，恐人有金针不度之疑。予积解有年，未能卒业。汝与同学者
务续成之，则予志也。”后来，陈际新、张肱和明新遵从明安图的遗愿和
他生前的指点，于乾隆三十九年（1774）将《割圆密率捷法》整理成书。
然而遗憾的是，这部书稿却为“某氏所秘，未经刊布”，它的收藏者张敦
仁甚至不肯出示给著名数学家汪莱，因而未能及时发挥应有的作用。后来
汪莱和董■诚等虽然看到原稿抄本，但却笼统地冠以“杜氏九术”的名称。
直到1821 年罗士琳从戴敦元处影抄原本，1839 年岑建功将其刊刻行世，
人们才了解到这是明安图的成果，《割圆密率捷法》才得以广泛流传。在
中国数学史上，清代的无穷级数研究是一个相当活跃的领域，可说是人才
辈出，成果累累。溯本求源，明安图的创始之功无疑应该给予充分的肯定。
从研究内容和数学方法上来说，诸如董■诚、项名达、戴煦、徐有壬、李
善兰等数学名家，都受到了他的影响。中国学者在这一领域运用具有传统
数学特色的方法，基本上解决了三角函数、对数等初等函数的幂级数展开
式问题，其中包含了某些微积分思想的萌芽，从而为顺利接受R。笛卡儿
（Desca…rtes）、牛顿、G。W。莱布尼茨（Leibniz）创立的解析几何、微积
分等近代数学知识，推动中国数学从常量数学到变量数学，从初等数学到
高等数学的发展，奠定了重要的思想基础。我国著名数学史家李俨曾指出：
“明安图以三十年之精思，始撰成《割圆密率捷法》，以解析九术，并由
连比例三角形入手。此数与形的结合，堪与笛卡儿创解析几何媲美。”日
本数学史家三上义夫亦曾指出：“圆理发达为最紧要之事件，可比西洋定
积分，其算法则始于所谓杜氏九术。”
在天文学方面，明安图参加编纂了三部重要的天文学�