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且部捎谜庖环绞嚼辞挚赡艿奈幕拖质档奈幕缱魑ㄒ话愕幕蚋鎏宓模┥娴囊恢止勰畹奈幕妥魑且还勰钪堤澹╞ody），亦即作为那一观念可见的、实在的和可理解的表现之总体的文化——如行动和意见、宗教和国家、艺术和科学、民族和城市、经济形式和社会形式，还有语言、法律、习俗、性格、面部轮廓和服装。与生命和生成息息相关的高级历史，乃是可能的文化的实现。
我们不要忘了补充一点；意义的这些基本决定因素基本上是不能用具体论证、定义或证明来沟通的，而只能通过感受、体验和直观在其更深刻的意义上来获得。在作为生活的体验与作为学问的经验之间，在由各种各样的直观——诸如启示、灵感、艺术慧眼、生命体验、“不能自已”的力量（即歌德所谓的“感同身受的幻想”）——所产生的直接确定性与理性程序和技术实验的产物之间，存在着一种几乎未被理解的区别。
前者的传达是借助类比、图象、象征等手段，后者则是借助公式、定律、图式等手段。既成是学问所经验的——其实，正如我们将看到的，已成之物对于人类心智而言是与已完成的认知行动同一的；反之，生成只能是活生生的生命所经验的，是以深刻的、难以言传的理解力所感受到的。我们所谓的“人的知识”正是以此为基础的；事实上，对历史的理解可算是人的一种最高级的知识。那是能洞察一种陌生的心灵的深处的眼光——决不能把它归于《纯粹理性批判》中所考察的认知方法，不过，历史图象越是纯粹，就越是难以为其他眼光所理解。机械论的纯粹自然图象，例如牛顿和康德的世界，是在定律和方程式中被认知、被把握和被解析的，并最终被简约为体系；有机论的纯粹历史图象，例如普罗提诺（Plotinus）、但丁和乔尔丹诺·布鲁诺（Giordano Bruno）的世界，是直觉地看到的，内在地体验到的，是作为一种形式或象征被把握的，并最终被交付给诗人和艺术家的概念。歌德的“活生生的自然”就是一种历史的世界图象。
二
为了说明心灵力图在其外部世界的图象中实现自身的方法——亦即，为了说明文化在“既成”状态中能多大程度上表现或描绘人类生存的观念——我选择了“数字”（number）这一所有数学赖以确立的基本要素。我做这样的选择，是因为数学——虽然只有很少的人能够理解其丰富的深度——在人类心灵的创造活动中具有十分特殊的地位。数学是一种最严密的科学，就如同逻辑一样，但它比逻辑更易于为人理解，也更为丰富；数学是一种真正的艺术，是可与雕刻和音乐并驾齐驱的，因为它也需要灵感的指导，而且是在伟大的形式传统下发展起来的；最后，数学还是一种最高级的形而上学，如同柏拉图尤其是莱布尼茨所告诉我们的。迄今为止的每一种哲学的发展，皆伴随有属于此哲学的数学。数字是因果必然性的象征。和上帝的概念一样，数字包含有作为自然之世界的终极意义。因此，数字的存在可以说是一种奥秘，每一文化的宗教思想都留有数字的印记。
如同所有的生成过程皆有方向的原始特性（不可逆性）一样，所有的既成之物皆有广延的特性。但是，“方向”和“广延”这两个词似乎还难以让人满意，因为在它们之间只能作出一种人为的区分。所有的既成之物的真正秘密——事实上，它即是（在空间和物质中）延展的事物——就体现在与编年学的数字相对立的数学的数字中。数学的数字，在其本质中就蕴含有机械的区隔（mechanical demarcation）的概念，就此方面而言，数字类似于文字（word），因为文字正是以其包容与指谓的事实来区隔世界印象的。事实上，数字与文字两者最深处的奥秘在此皆是只可意会、不可言传的。但是，数学家所操作的实际数字，包括图形、公式、符号、图表，简而言之，数学家所准确地思考、言说或书写的数字符号，皆如准确地运用的文字一样，自一开始便是这些深层奥秘的象征，是内在之眼和外在之眼皆可以想象、可以沟通和可以领会的某种东西，可以作为区隔的代表来予以接受。数字的起源类似于神话的起源。原始人把不可确定的自然印象（用我们的术语说，“外来的”印象）提升为神灵或神秘（numina），同时又用一个限定它们的名称来捕捉和框定它们。数字也是这样的一种标识和捕捉自然印象的东西，正是借助于名称和数字，人类的理解力终于可以制服世界了。在最后的分析中，一种数学的数字语言和一种口语的语法在结构上是一样的。逻辑永远是一种数学，反之亦然。因此，在人类心智恰当地运用数学的数字的所有行为——度量、计算、绘图、测重、排列、分割——中，人们也在努力用文字来界定延展之物，亦即以证明、结论、定理和体系的形式来说明之；并且，也只有通过此等行为（可能或多或少地是无意间的），醒觉的人类才开始能够运用数字——规范地——来描绘对象和特性、关系和差异、统一性和多样性等，简言之，描绘他觉得必要的和不可移易的、他称之为“自然”和他所“认知”的世界图象的结构。自然是可以用数字来表达的，而历史则相反，它是那与数学无关的事物的集合——因此有自然律的数学确定性，有伽利略那无比正确的名言：自然是“用数学语言写成的”；还有康德所强调的这样一个事实：精确的自然科学所能到达的限度，即是应用数学之可能性所能允许的限度。因此，数字作为已完成的区隔的符号，体现了一切被认知、被界定的实际事物的本质，而它自身同时也变成了一切，正如毕达哥拉斯和其他一些人借助于一种强有力的和真正宗教的直觉、用完全内在的确定性所已经看到的。然而，我们此处所谓的数学——由此意味着借形象来实际地思考的能力——不可与远为狭义的科学的数学相混淆，亦即不可与在演讲和论文中提出的那种数字理论相混淆。一种文化在自身之内所拥有的数学的视野和思想，是它的形诸于文字的数学所不可能充分地表达的，一如其哲学的视野和思想是其哲学的论文所不可能充分地表达的一样。数字是从一个还有其他出口的源泉中涌现出来的。因而在每一文化的开端处，我们总能发现一种古代风格，即在早期希腊和其他地方被正当地称作几何学的风格。在公元前10世纪的这一早期古典风格中，在埃及第四王朝以其绝对主义的直线和直角所表现出来的庙宇风格中，在早期基督教的石棺浮雕中，还有在罗马风格的建筑和装饰中，一个共同的因素就是，它们都明确地是数学的。在这里，每一条直线，人和动物的每一个蓄意非模仿的形象，都在与死（不可移易的固定之物）之奥秘的直接关联中揭示着一个神秘的数字思维。
哥特式的教堂和多立克式的庙宇便是以石头表现的数学（mathematics in stone）。毕达哥拉斯无疑是古典文化中将数字科学地看作是可理解的事物所构成的世界秩序的原则——看作是标准，看作是度量——的第一人，但是，甚至在他之前，在雕像的严格法式中，在多立克柱廊的秩序中，数字就被用来表达感觉的…物质的单位的一种高贵的排列。伟大的艺术，每一个都是借助以数字为基础的限制来进行阐释的模式（例如可以想一想油画中空间再现的问题）。一种高级的数学天赋，即便没有任何的数学科学，也能在技术领域获得成熟而完美的自我认识。
在一种强有力的数字感如此确凿的展示中，甚至在古王国时期，在金字塔庙宇的尺度测定中，在建筑、防洪工程、公共行政（更不用提历书了）的技术中，没有人会确然无疑地坚持认为新帝国时期的阿赫姆斯（Ahmes）的毫无价值的算术代表了埃及数学的水平。澳大利亚土著在才智方面完全属于原始人，可他们具有一种数学本能（或者说，一种类似于数学本能的东西，一种用数字进行思维的能力，尽管还不会运用符号或文字来沟通），就其对纯粹空间的阐释而言，他们的这一本能远远优越于希腊人。他们所发明的回向镖只能归功于他们对某一类数字——我们称之为高等几何——有着一种确然的感觉。因而——我们会在后面再证明使用这个副词的合理性——他们拥有一套极其复杂的仪式，为了表达亲密的程度，他们发明了如此微妙精细的语言，甚至连高级文化本身也做不到这样。
又一次，在欧几里得的数学，跟成熟的伯里克利时代的希腊对仪式性的公共生活或孤独感全无感觉之间，存在着一种类比，而巴罗克时代——与古典时代迥然不同——则向我们展示了一种空间分析的数学，一个凡尔赛的宫廷，以及一个依托于王朝关系的国家制度。
在数字的世界中所显示的，正是一种心灵的风格，故而数字的世界，除了有关于它的科学之外，还包括其他一些东西。
三
由上所述，我们可以看到一个具有决定性意义的重要事实，这一事实迄今为止连数学家自己都未能洞明。
数字本身并不存在，也不可能存在。所存在的乃是多个数字世界，如同多种文化的存在一样。我们发现的是一种印度数学思想、一种阿拉伯数学思想、一种古典数学思想、一种西方数学思想，与这每一种数学思想相对应的是一种数字类型，而每一类型根本上都是特殊的和独一无二的，是一种特定的世界感的表现，是一种有着特定的有效性、甚至能科学地定义的象征，是一种排列既成之物的原则，这原则反映着一种且仅仅一种心灵亦即那一特殊文化的心灵的核心本质。由此言之，世上不只有一种数学。因为，不容置疑的是，欧几里得几何学的内在结构与笛卡儿几何学的内在结构是完全不同的，�