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卡斯纳的宇宙有一个令人震惊的特点。尽管它的总体积在增加，但它实际上只在某两个维度的方向上是膨胀的，而在另一个垂直维度的方向上则是收缩的（图 4。5）。因此，在卡斯纳的宇宙中，一个空心球面的赤道地区会越来越大，越来越像一个椭球，而同时两极地区在朝着中心收缩。宇宙的形状会越来越像一块薄饼。＇18＇
图4。5 卡斯纳宇宙三个维度X、Y和Z的膨胀。其中两个膨胀时，第三个就收缩，总体积XYZ总是正比于时间
这是一个奇怪的宇宙。它不包含物质，空间并没有弯曲，但又在膨胀。这是一个由不同方向之间的膨胀速度差异所驱动的世界。我们很熟悉引力差异导致的效应，因为从潮汐中我们就能体会到这一点。月亮（和太阳）对地球上靠近它们一面的海水产生的拉力更大，所以这一侧的海平面比另一侧更高。地球自转导致潮汐的强度规律地变化，并且遵循立方反比而不是牛顿的平方反比定律。卡斯纳的宇宙存在这种潮汐力，因此它是各向异性的。它允许一个宇宙的不同方向“启动”不同速率的膨胀。＇19＇
卡斯纳的宇宙看起来非常特别。如果往其中加入一些物质，它就会逐渐向爱因斯坦和德希特的各向同性宇宙演化。如果往其中加入起排斥作用的宇宙学常数，不管其中有没有物质，它都会向德希特的指数膨胀宇宙演化。＇20＇然而，如果我们逆着时间回溯到它的“开端”，t＝0的时刻，那时物质、辐射和宇宙学常数都不会对它的面貌产生任何影响。膨胀速度的差异最终胜出，宇宙开始膨胀，它开始时是伸长的“针”的形状，体积为零，不是一个“点”，而是在一个维度的尺寸无穷大，另外两个与之垂直的维度的尺寸为零。尽管它的性质如此特殊，但事实证明，卡斯纳的宇宙会对理解可能存在的宇宙产生巨大的影响。
狄拉克的宇宙——引力在其中持续衰败
我觉得你不可能在研究物理学的同时又写诗。做科研时，你想要说一些别人都不知道的东西，又要让所有人都能理解。而创作诗歌时，你必须说一些别人都已经知道的事，又要说得大家都看不懂才行。
——保罗·狄拉克＇21＇
保罗·狄拉克（Paul Dirac，1902～1984）在剑桥大学担任卢卡斯数学教授时，正好与爱丁顿在剑桥大学天文台生活和工作的时间有所重合。狄拉克可以被称作是20世纪英国最伟大的物理学家，他建立了量子力学中的许多理论，规范了量子力学的数学表述形式，预言了反物质，发现了特定基本粒子的统计性质以及重要的、描述相对论性电子行为的“狄拉克方程”。1933年，他年仅31岁，就成为诺贝尔物理学奖的最年轻得主①，而一年前他就已经被授予卢卡斯教授教职。
① 最年轻的得主应该是威廉·劳伦斯·布拉格（William Lawrence Bragg，1890～1971），1915年获奖时只有25岁。——译者注
狄拉克的传记作者＇22＇把他描述为“最奇怪的人”，而与他同在剑桥的那些人几乎不敢说自己“了解”他。他沉默寡言，寥寥数语就能将别人的特点概括出来。例如，路德维希·维特根斯坦就被狄拉克说成是“可怕的人，喋喋不休”。＇23＇关于狄拉克生活朴素、井井有条而社交能力低下的故事非常多，因此1937年2月，他刚度完蜜月就向《自然》杂志投稿，出乎意料地进军宇宙学领域，就显得一点儿也不奇怪了。10个月以后，一篇更长的文章出炉，提出了宇宙学的一个新原则。之后他再也没有写过这方面的文章，直到 35年后又重新捡起了这个题目，仿佛中间的 35年不存在似的。
图4。6 保罗·狄拉克
当时大部分的物理学家，一听说狄拉克写了一篇宇宙学的研究论文，都非常期待那是一个全面的新理论，或是一种用高超的数学技巧求解爱因斯坦极富挑战的方程组的新方法。恰恰相反，狄拉克的想法虽然非常令人着迷，但又非常简单，很多人感觉是有点古怪，甚至他的朋友尼尔斯·玻尔（1885～1962）打趣说，“看看人结了婚就变成什么样了”。狄拉克认为，如果我们在物理学中碰到巨大的无量纲量，例如1040或1080，它们不太可能是相互独立、无关的，很有可能存在一个未被揭示的自然数学法则，会将这些量联系在一起。这就是狄拉克的大数假设。＇24＇狄拉克发现的大数共有三组，其中包括了宇宙的年龄 t、光速 c、电子的质量me、质子的质量mp以及牛顿引力常数G。从这些量中他构造了以下三个数：
根据他的假设＇25＇，N1、N2和在非常精确的近似下很可能是相等的。如果这些大数没有任何联系的话，才是非常非常奇怪的事。狄拉克相信，自然界中肯定存在未知的法则，使得 N1≈N2或这样的公式（或近似的公式）成立。
狄拉克的大数假设抛出的激进意涵是，它要我们相信，一系列自然界的经典常数必然随宇宙年龄t的增加而变化，因为他要求
所以，这三个经典自然常数的组合并不是常数，而必然随着宇宙年龄t的增加而缓慢地改变，于是：
① 符号∝表示左边的表达式与右边呈正比。——译者注
狄拉克抛弃了牛顿宇宙学常数G的不变性，而选择坚持自己的假定。他提出，在宇宙的时间尺度上，牛顿引力常数与宇宙年龄呈反比，如并且满足方程（*）的要求。于是，相比现在测量到G的数值，从前的G会更大，而将来的G会变小。你会发现，也就是说，它们三个之所以数值巨大是因为宇宙年龄很古老＇26＇：随着时间的流逝，这三个数越来越大。＇27＇
狄拉克的结论有三个关键要素。首先，他试图证明，以前人们认为是巧合的事情实际上是一些被忽略的深刻联系的结果。其次，他断定，空间曲率和宇宙学常数必然是零，否则这些数值会不断变大。最后，他牺牲了G的不变性，这是已知的最古老的自然常数。不幸的是，这些假设存活的时间并不长。如果G的数值都能发生变化，那就坏事了。狄拉克假设，从前引力相互作用的强度很强。这会导致太阳的输出功率发生变化，而从前的地球会比通常认为的热得多。＇28＇ 1948年，美国物理学家爱德华·泰勒（1908～2003）说，若是那样的话，寒武纪之前的海洋会沸腾，我们现在所知的生命也就不可能演化至今。＇29＇
泰勒的朋友乔治·伽莫夫回应了沸腾海洋的问题。他提出，如果假设狄拉克的巧合是因为电子电荷 e在随时间变化，情况就会改善许多，方程（*）要求e2的数值随着时间增大。＇30＇
不幸的是，这个假设存活的时间也不长。如果伽莫夫变化的e的想法成立，那么将由此导致种种使生命在地球上无法出现的糟糕后果。没过多久就有人发现，他的理论会导致太阳在很久以前就耗尽了所有的核燃料。如果e2的数值与宇宙的年龄呈正比的话，现在的太阳早就不可能发光了。
除去这些失败的尝试不说，狄拉克的想法还是启发了我们，去探索宇宙学模型的新可能。改变引力常数，让它随时间变化，相当于说爱因斯坦的广义相对论不正确，或者不完备。你不能像狄拉克那样，若无其事地把一个常数变成一个变量。在爱因斯坦的引力理论中，任何形式的能量都产生引力。这些能量弯曲了空间，决定了时间流逝的速率。改变G 的大小也会产生相同的效果。后来，一些物理学家试图使整个想法建基于一个坚实的基础之上，用爱因斯坦理论的小规模修正版来解释引力“常数”变化的原因，把它看作一种能量和引力作用的新来源。
1939年，第一个用这种想法构建了完整理论的是个不知名的德国物理学家，帕斯库尔·约尔丹（Pascual Jordan，1902～1980）。他拓展了爱因斯坦的相对论，向其中加入了一个新的能量场，表示传统意义上的引力常数G的变化。约尔丹和马克斯·玻恩（1882～1970）、沃纳·海森堡（1901～1976）一起发表了一系列论文，对量子力学的发展作出了重要贡献。但很不幸，约尔丹是一个狂热的纳粹分子，在1933年希特勒掌权的那一年就加入了纳粹党，继而在 1934年加入了纳粹党冲锋队。＇31＇ 1939年，他加入了空军，并在第二次世界大战中开展气象学的研究工作，还在靠近波罗的海的皮纳穆德 V…1和 V…2火箭研究机构待了一段时间。但不管他在武器系统的研究中表现得如何狂热，他的上级看起来并不信任他，可能是因为他以前与犹太物理学家有交往，如玻恩。约尔丹的政治倾向使得他与其他物理学家之间产生了一个巨大的鸿沟。直到 20 世纪50年代早期，在他恢复了一个学术职位时，这事才算平息。因此，在当时，约尔丹前面十几年的宇宙学研究都被大大忽略了。有人说，他的政治活动使他丧失了分享1954年诺贝尔物理学奖的机会。
尽管狄拉克对宇宙学的跨界研究很短暂，并随后被更精确的如约尔丹的表述所取代，但狄拉克发现的数字巧合后来有了一个有趣的解释。罗伯特·迪克（Robert Dicke，1916～1997）指出，的公式就是在说，我们观测到宇宙的时间t（我们叫做“年龄”），大体上与一颗恒星开始形成、步入稳定演化的阶段（在核聚变反应中燃烧氢元素产生氦元素）的时间相当。既然我们不可能在恒星形成以前就存在，也不能在恒星熄灭以后还活着，这种巧合就根本没什么好大惊小怪的。＇32＇我们不太可能活在一个违背“巧合”（*�