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重合在所有点上和所有时间内都保持不变，如果这个物体具有这样一种特性时，那么我们说，这一个物体相对于另一个物体是刚性的。经验表明，有一整类的物体具有这样的特性：其中每一个相对于这一类中其他各个都是刚性的。我们把所有这类物体称为是“实际上刚性的”。更严密的考查向我们表明，按照定义，没有一个物体是完全刚性的。而这就妨碍我们在比较长度时无保留地使用任何现实的物体当作标准的量尺；而且因此还促使我们在谈到标准量具时要附上一些条件（修正），例如，我们说：“如果该标准量具处于某种温度下，则必须从它的长度中减去几分之几。”或者说“如果该标准量具受到这种或那种力的作用，则必须把它的长度增加这样那样的一个比例。”通过这类规定，于是可以说，这个现实的尺子就变得相当于一把被认为是完全刚性的理想的尺子了。
如果一个概念是参照了一个实际存在的构架或物体（就象地球的子午线，巴黎的标准米尺等等）而定义的，那么我们就称之为具体定义。但如果一个概念起源于自然律或普遍的统一性，那么我们就称之为约定（彭加莱）（狭义的约定，因为按照广义的“一致同意”，任何定义都是约定）。
由于我们假定自然律是不变的（这一假定的意义暂时不予深究），因此，与具体定义相比，约定有这样一个优点：由它所定义的概念能够在任何时候①重新构造出来（比较光的波长）。
① 由于镉光谱红线易于重复产生，它的波长可被选作长度单位。
到此为止，我们还只谈到了长度上的相等概念和较大及较小概念。但是，为了要完成长度的度量——或用确定的数字表征确定的片段的（无歧义的）特性——，进一步的操作则是必须的。为此，我们需要一把刻有许多刻度的刚性的尺。这些刻度都用数字标出，但对这些刻度的安排和标定从原则上来说都可以是任意的。然后，把这把尺放在待量的线上，其放法是：线的起点与尺上某定点重合。此时，线的终点又与尺上的另一点重合，对该点所标定的数字即被称为线的长度。我们把尺上第一个定点指定为0。把尺上的分度按如下的要求校准：对应干各个等差数字之间的间隔，彼此相等（按前述的定义）也就是说，使数字0与1，1与2，2与3，…，之间的间隔大小相等。在这种情况下，距离的相加只需要有一个十分简单的和数或有一个加法定理就行了。如果我们把“两线之和”理解为把两条线接在一起后所得的线的长度，那么这一长度就简单地等于两线的度量单位数，即标量数的算术和。
最后，剩下长度等于1的线要由具体定义（联系到地球的大小）或约定（借助于某些种类的光的波长）来决定。因此，为要决定长度，必须满足如下五项条件。即一定要讲明白：（1）两条线在什么时候才被认为是相等的；（2）较大、较小应被理解为什么；
（3）数字0应放置在什么地方；
（4）数字1应放置在什么地方；
（5）剩下的数字次序应如何排列。
这些条件中前两条一般称为拓扑学条件，后三条称为度量条件①。
① 见卡尔纳普的小册子《物理学的概念图象》，刊于《知与行》丛书在度量中采用光学装置原则上并没有增加什么新东西。它们仅仅与视场中奇点的观察有关，而且还必须作出关于光线行为的假定（直线传播）。虽然如此，值得注意的是光学方法能如此方便地应用而不需要改变任何刚性尺度量所依据的约定。最重要的结果是所有空间情况度量的测定都取决于比较，从而都是相对的。所有的测量操作都是由刚体之间的比较所组成，并通过观察重合关系而完成。所有空间性的命题仅仅只涉及物体的行为——从不涉及“空间”。和彭加莱相一致，我们坚信所有空间命题的相对性。其理由是：如果我们假定一夜之间世界上一切物体的大小都以同样的比例发生了变化，那时世界也并不会产生可感知的差别。这是因为，按照上述假定，所有供比较用的尺——包括我们自己的身体及其感觉器官——都将同样地发生变化，用任何一种度量——甚至包括眼睛的精度——都绝无可能来确认所假定的变化。只要重合关系得到保持，世界可以承受任意次的可想象的变形，而结果什么也不会改变。
亥姆霍兹早就认识到这一事实。他曾指出，如果有一种生物，其所生活的肚界就象是我们这个世界在哈哈镜里照出来的那种样子，只要它们不能从它们的世界走到我们这世界里来并从而把两个世界作一比较，它们就永远也没有任何办法能觉察到这种畸变①。要说到世界的变形，只有当存在一个不参与该变形的某物，并可通过该物而确认这种变化——显然是根据对重合关系的观察来确认，只有在这种情况下说到世界的变形才有意义。一种保持一切重合关系的畸变（其中既没有新的重合关系产生，也没有任何重合关系消失）并不代表着世界的一种变化，它仅仅代表着引入一种新的说法——新的术语系统——，例如，就象是用任何一种类型的高斯坐标取代笛卡尔参考系。在一切重合关系都保持的地方，畸变的唯一意义就只是假定刚体的长度发生了变化，因而也就是假定量尺的长度发生了变化。但这一点会与我们的长度定义发生矛盾。根据定义，长度唯一取决于重合关系。
①见石里克《当代物理学的空间与时间》，柏林1917（第四版，1922）。
我们至此还只能在物理意义上来谈到点、线及空间形状（这意味着，例如直线，代表一个在物理上明确的对象）。一条线，我们指的是物体（边缘）上一系列连续的物质点。某种任意的理想参考系的引入，只有当我们给自己设想出一些在物理上可以识别的线系（表面把），并且同意把这些线系用作为坐标时，才是可行的。借助于一种任意的参考系——或者，用习惯的说法——借助于任意的几何，我就能描述自然。
如果有可能以这样一种方式来构写自然律：使这些自然律无例外地仅仅包含只涉及重合关系的命题，而这些重合关系对于无论何种参考系均为真；如果这种构写是可能的，那么这些自然律将只包含最少的任意描述方法，从而可以说，将以可能有的最忠实的方式来重现自然。
当牛顿宣称几何学是“普通力学中建立和决定度量技艺的那一部分”时，他已觉察到几何学是物理学的一部分了。而当爱因斯坦宣称几何学是“刚体所有可能的排列或编组的理论”时，他也表达了相同的见解（爱因斯坦：《几何学和经验》，柏林1921）。我们必须区别开两种几何学：一种是刚体间位置关系的理论，一种是“纯粹的刀或“数学的”几何学，后者可以在我们已经说明过的意义上被描述为一个假设一演绎系统。欧几里得的数学几何是以下述的方式创立的：经验表明，根据对某些位置和量值的观察，再加上某些普遍的假定，就能预言某些另外的（新的！）观察；还表明，这一套程序使实际测量过程变得没有必要。人们发现，为了计算例如一个立方体的体积，只需要量出其一条边；量出三角形的两个角就得到了第三角。在这些例子中，预料的结果得到确证，就肯定了普遍假定的正确性。现在假如这些普遍的假定连同可以由之而导出的全部命题，只就它们相互之间的关系来考虑，同时又完全不问在它们中出现的词或符号的意义，那么我们就得到一种“纯粹的”几何学，或一种纯粹形式的公理与定理系统，它缺乏内容，从而不是真正的命题而是所谓的命题函数。一旦掌握了这种观念，数学家就能想出任何数目的这类系统，并研究它们内部的关系。而自然研究者就能检验它们的适用性——也就是说，他能弄明白是否存在任何种类的自然对象，这种对象能被用来填补公理所具有的空虚的命题形式，从而得到真实的命题。如果找到了，那么从这些公理演绎出来的定理显然也是真实的了。
彭加莱认为：我们应当总是在各种可能的几何定理中去追求那种最简单的，从而宁可要欧几里得几何。但是，事实上更重要或更方便的是要这样地来选择约定，即当这些约定应用于自然时——也就是说，从纯粹几何转变为物理几何时——结果会形成最简单的可能的物理系统（如果彭加莱能活着经历到物理学最近的发展，那他就会欢迎非欧几何在描述自然中的应用了）。
从纯粹几何到物理几何的转变对应于从语言理论到语言应用的转变。纯粹几何就是物理几何的语法。
在描述自然时，人们可以把例如“直线”这一术语用于这样一些结构物，这些结构物遵守支配欧几里得直线的那些公理。在这种情况下，三个这样的结构物所形成的三角形其三内角之和根据定义就等于180°。但从1919年以来，我们就知道对于天文学上光线的情况，这一条件不是始终得到满足。虽然如此，我们还是能够规定把“直线”理解作象光线、绷紧的弦等等之类的结构物。我们还知道，对于天文学上光线的情况，这一条件也不是始终充分的。虽然如此，我们还是可以说，所谓“直线”指的就是光线、绷紧的弦之类的结构物。而这就意味着我们宁可惜助于非欧几何来描述自然。两种可能性都是存在的；有些哲学家主张只有前一种才对应于直线的“真实的性质”，这种意见是没有意义的。无论何种情况，我们一定得通过定义规定我们认为是“直线”的东西。而这种规定，或日决定，在原则上是完全任意的。
至于那种宣称几何学的基本概念——象直线概念——是不可定义的，它们的内容和普遍性都独立于物理经验而由“纯粹知觉”所给出，这种先天观点是经不住批判的审查的。恰恰相