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列简谐运动的叠加。在这个展开式里的每一项，都代表了一个特定频率。现在，海森堡准备对这个旧方程进行手术，把它彻底地改造成最新的
矩阵版本。但是困难来了，我们现在有一个变量p，代表电子的动量，还有一个变量q，代表电子的位置。本来，在老方程里这两个变量应当乘
起来，现在海森堡把p和q都变成了矩阵，那么，现在p和q应当如何再乘起来呢？
这个问题问得好：你如何把两个“表格”乘起来呢？
或者我们不妨先问自己这样一个问题：把两个表格乘起来，这代表了什么意义呢？
为了容易理解，我们还是回到我们那个巴士车费的比喻。现在假设我们手里有两张海森堡制定的车费表：矩阵I和矩阵II，分别代表了巴士I号
线和巴士II号线在某地的收费情况。为了简单起见，我们假设每条线都只有两个站，A和B。这两个表如下：
I号线（矩阵I）：
A B
A 1 2
B 3 1
II号线（矩阵II）：
A B
A 1 3
B 4 1
好，我们再来回顾一下这两张表到底代表了什么意思。根据海森堡的规则，数字的横坐标代表了起点站，纵坐标代表了终点站。那么矩阵I第一
行第一列的那个1就是说，你坐巴士I号线，从A地出发，在A地原地下车，车费要1块钱（啊？为什么原地不动也要付1块钱呢？这个……一方面
是比喻而已，再说你可以把1块钱看成某种起步费。何况在大部分城市的地铁里，你进去又马上出来，的确是要在电子卡里扣掉一点钱的）。同
样，矩阵I第一行第二列的那个2是说，你坐I号线从A地到B地，需要2块钱。但是，如果从B地回到A地，那么就要看横坐标是B而纵坐标是A的那
个数字，也就是第二行第一列的那个3。矩阵II的情况同样如此。
好，现在我们来做个小学生水平的数学练习：乘法运算。只不过这次乘的不是普通的数字，而是两张表格：I和II。I×II等于几？
让我们把习题完整地写出来。现在，boys and girls，这道题目的答案是什么呢？
┏ ┓┏ ┓
┃ 1 2 ┃┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ？
┗ ┛┗ ┛
*********
饭后闲话：男孩物理学
1925年，当海森堡做出他那突破性的贡献的时候，他刚刚24岁。尽管在物理上有着极为惊人的天才，但海森堡在别的方面无疑还只是一个稚气
未脱的大孩子。他兴致勃勃地跟着青年团去各地旅行，在哥本哈根逗留期间，他抽空去巴伐利亚滑雪，结果摔伤了膝盖，躺了好几个礼拜。在
山谷田野间畅游的时候，他高兴得不能自已，甚至说“我连一秒种的物理都不愿想了”。
量子论的发展几乎就是年轻人的天下。爱因斯坦1905年提出光量子假说的时候，也才26岁。玻尔1913年提出他的原子结构的时候，28岁。德布
罗意1923年提出相波的时候，31岁。而1925年，当量子力学在海森堡的手里得到突破的时候，后来在历史上闪闪发光的那些主要人物也几乎都
和海森堡一样年轻：泡利25岁，狄拉克23岁，乌仑贝克25岁，古德施密特23岁，约尔当23岁。和他们比起来，36岁的薛定谔和43岁的波恩简直
算是老爷爷了。量子力学被人们戏称为“男孩物理学”，波恩在哥廷根的理论班，也被人叫做“波恩幼儿园”。
不过，这只说明量子论的锐气和朝气。在那个神话般的年代，象征了科学永远不知畏惧的前进步伐，开创出一个前所未有的大时代来。“男孩
物理学”这个带有传奇色彩的名词，也将在物理史上镌刻出永恒的光芒。
三
上次我们布置了一道练习题，现在我们一起来把它的答案求出来。
┏ ┓┏ ┓
┃ 1 2 ┃┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ？
┗ ┛┗ ┛
如果你还记得我们那个公共巴士的比喻，那么乘号左边的矩阵I代表了我们的巴士I号线的收费表，乘号右边的矩阵II代表了II号线的收费表。I
是一个2×2的表格，II也是一个2×2的表格，我们有理由相信，它们的乘积也应该是类似的形式，也是一个2×2的表格。
┏ ┓┏ ┓┏ ┓
┃ 1 2 ┃┃ 1 3 ┃┃ a b ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
┗ ┛┗ ┛┗ ┛
但是，那答案到底是什么？我们该怎么求出abcd这四个未知数？更重要的是，I×II的意义是什么呢？
海森堡说，I×II，表示你先乘搭巴士I号线，然后转乘了II号线。答案中的a是什么呢？a处在第一行第一列，它也必定表示从A地出发到A地下
车的某种收费情况。海森堡说，a，其实就是说，你搭乘I号线从A地出发，期间转乘II号线，最后又回到A地下车。因为是乘法，所以它表示“I
号线收费”和“II号线收费”的乘积。但是，情况还不是那么简单，因为我们的路线可能不止有一种，a实际代表的是所有收费情况的“总和”
。
如果这不好理解，那么我们干脆把题目做出来。答案中的a，正如我们已经说明了的，表示我搭I号线从A地出发，然后转乘II号线，又回到A地
下车的收费情况的总和。那么，我们如何具体地做到这一点呢？有两种方法：第一种，我们可以乘搭I号线从A地到B地，然后在B地转乘II号线
，再从B地回到A地。此外，还有一种办法，就是我们在A地上了I号线，随即在原地下车。然后还是在A地再上II号线，同样在原地下车。这虽然
听起来很不明智，但无疑也是一种途径。那么，我们答案中的a，其实就是这两种方法的收费情况的总和。
现在我们看看具体数字应该是多少：第一种方法，我们先乘I号线从A地到B地，车费应该是多少呢？我们还记得海森堡的车费规则，那就看矩阵
I横坐标为A纵坐标为B的那个数字，也就是第一行第二列的那个2，2块钱。好，随后我们又从B地转乘II号线回到了A地，这里的车费对应于矩阵
II第二行第一列的那个4。所以第一种方法的“收费乘积”是2×4＝8。但是，我们提到，还有另一种可能，就是我们在A地原地不动地上了I号
线再下来，又上II号线再下来，这同样符合我们A地出发A地结束的条件。这对应于两个矩阵第一行第一列的两个数字的乘积，1×1＝1。那么，
我们的最终答案，a，就等于这两种可能的叠加，也就是说，a＝2×4＋1×1＝9。因为没有第三种可能性了。
同样道理我们来求b。b代表先乘I号线然后转乘II号线，从A地出发最终抵达B地的收费情况总和。这同样有两种办法可以做到：先在A地上I号线
随即下车，然后从A地坐II号线去B地。收费分别是1块（矩阵I第一行第一列）和3块（矩阵II第一行第二列），所以1×3＝3。还有一种办法就
是先乘I号线从A地到B地，收费2块（矩阵I第一行第二列），然后在B地转II号线原地上下，收费1块（矩阵II第二行第二列），所以2×1＝1。
所以最终答案：b＝1×3＋2×1＝5。
大家可以先别偷看答案，自己试着求c和d。最后应该是这样的：c＝3×1＋1×4＝7，d＝3×3＋1×1＝10。所以：
┏ ┓┏ ┓┏ ┓
┃ 1 2 ┃┃ 1 3 ┃┃ 9 5┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ 7 10┃
┗ ┛┗ ┛┗ ┛
很抱歉让大家如此痛苦不堪，不过我们的确在学习新的事物。如果你觉得这种乘法十分陌生的话，那么我们很快就要给你更大的惊奇，但首先
我们还是要熟悉这种新的运算规则才是。圣人说，温故而知新，我们不必为了自己新学到的东西而沾沾自喜，还是巩固巩固我们的基础吧，让
我们把上面这道题目验算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其实没有那么乏味，我们可以把乘法的次序倒一倒，现在验算一遍II×I：
┏ ┓┏ ┓┏ ┓
┃ 1 3 ┃┃ 1 2 ┃┃ a b ┃
┃ 4 1 ┃ × ┃ 3 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
┗ ┛┗ ┛┗ ┛
我知道大家都在唉声叹气，不过我还是坚持，复习功课是有益无害的。我们来看看a是什么，现在我们是先乘搭II号线，然后转I号线了，所以
我们可以从A地上II号线，然后下来。再上I号线，然后又下来。对应的是1×1。另外，我们可以坐II号线去B地，在B地转I号线回到A地，所以
是3×3＝9。所以a＝1×1＋3×3＝10。
喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我们遇到问题了。在我们的验算里，a＝10，不过我还记得，刚才我们的答案说a＝9。各位把笔记本往回翻几页，
看看我有没有记错？嗯，虽然大家都没有记笔记，但我还是没有记错，刚才我们的a＝2×4＋1×1＝9。看来是我算错了，我们再算一遍，这次
可要打起精神了：a代表A地上车A地下车。所以可能的情况是：我搭II号线在A地上车A地下车（矩阵II第一行第一列），1块。然后转I号线同样
在A地上车A地下车（矩阵I第一行第一列），也是1块。1×1＝1。还有一种可能是，我搭II号线在A地上车B地下车（矩阵II第一行第二列），3
块。然后在B地转I号线从B地回到A地（矩阵II第二行第一列），3块。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。
嗯，奇怪，没错啊。那么难道前面算错了？我们再算一遍，好像也没错，前面a＝1＋8＝9。那么，那么……谁错了？哈哈，海森堡错了，他这
次可丢脸了，他发明了一种什么样的表格乘法啊，居然导致如此荒唐的结果：I×II ≠ II×I。
我们不妨把结果整个算出来：
┏ ┓
┃ 9 5┃
I×II＝ ┃ 7 10┃
┗ ┛
┏ ┓
┃ 10 5┃
II×I＝ ┃ 7 9┃
┗ ┛
的确，I×II ≠ II×I。这可真让人惋惜，原来我们还以为这种表格式的运算至少有点创意的，现在看来浪费了大家不少时间，只好说声抱歉
。但是，慢着，海森堡还有话要说，先别为我们死去的脑细胞默哀，它们的死也许不是完全没有意义的。
大家冷静点，大家冷静点，海森堡摇晃着他那漂亮的头发说，我们必须学会面对现实。我们已经说过了，物理学，必须从唯一可以