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甚至包括电影续集）来
说，它都那样扑朔迷离，叫人难以把握，望而生畏。事实上直到今天，还有很多人几乎不敢相信，我们的宇宙就是建立在这些怪物之上。不过
不情愿也好，不相信也罢，Matrix已经成为我们生活中不可缺少的概念。理科的大学生逃不了线性代数的课，工程师离不开MatLab软件，漂亮
MM也会常常挂念基诺？里维斯，没有法子。
从数学的意义上翻译，Matrix在中文里译作“矩阵”，它本质上是一种二维的表格。比如像下面这个2*2的矩阵，其实就是一种2*2的方块表格
：
┏ ┓
┃ 1 2 ┃
┃ 3 4 ┃
┗ ┛
也可以是长方形的，比如这个2*3的矩阵：
┏ ┓
┃ 1 2 3 ┃
┃ 4 5 6 ┃
┗ ┛
读者可能已经在犯糊涂了，大家都早已习惯了普通的以字母和符号代表的物理公式，这种古怪的表格形式又能表示什么物理意义呢？更让人不
能理解的是，这种“表格”，难道也能像普通的物理变量一样，能够进行运算吗？你怎么把两个表格加起来，或乘起来呢？海森堡准是发疯了
。
但是，我已经提醒过大家，我们即将进入的是一个不可思议的光怪陆离的量子世界。在这个世界里，一切都看起来是那样地古怪不合常理，甚
至有一些疯狂的意味。我们日常的经验在这里完全失效，甚至常常是靠不住的。物理世界沿用了千百年的概念和习惯在量子世界里轰然崩坍，
曾经被认为是天经地义的事情必须被无情地抛弃，而代之以一些奇形怪状的，但却更接近真理的原则。是的，世界就是这些表格构筑的。它们
不但能加能乘，而且还有着令人瞠目结舌的运算规则，从而导致一些更为惊世骇俗的结论。而且，这一切都不是臆想，是从事实——而且是唯
一能被观测和检验到的事实——推论出来的。海森堡说，现在已经到了物理学该发生改变的时候了。
我们这就出发开始这趟奇幻之旅。
二
物理学，海森堡坚定地想，应当有一个坚固的基础。它只能够从一些直接可以被实验观察和检验的东西出发，一个物理学家应当始终坚持严格
的经验主义，而不是想象一些图像来作为理论的基础。玻尔理论的毛病，就出在这上面。
我们再来回顾一下玻尔理论说了些什么。它说，原子中的电子绕着某些特定的轨道以一定的频率运行，并时不时地从一个轨道跃迁到另一个轨
道上去。每个电子轨道都代表一个特定的能级，因此当这种跃迁发生的时候，电子就按照量子化的方式吸收或者发射能量，其大小等于两个轨
道之间的能量差。
嗯，听起来不错，而且这个模型在许多情况下的确管用。但是，海森堡开始问自己。一个电子的“轨道”，它究竟是什么东西？有任何实验能
够让我们看到电子的确绕着某个轨道运转吗？有任何实验可以确实地测出一个轨道离开原子核的实际距离吗？诚然轨道的图景是人们所熟悉的
，可以类比于行星的运行轨道，但是和行星不同，有没有任何法子让人们真正地看到电子的这么一个“轨道”，并实际测量一个轨道所代表的
“能量”呢？没有法子，电子的轨道，还有它绕着轨道的运转频率，都不是能够实际观察到的，那么人们怎么得出这些概念并在此之上建立起
原子模型的呢？
我们回想一下前面史话的有关部分，玻尔模型的建立有着氢原子光谱的支持。每一条光谱线都有一种特定的频率，而由量子公式E1E2 hν，
我们知道这是电子在两个能级之间跃迁的结果。但是，海森堡争辩道，你这还是没有解决我的疑问。没有实际的观测可以证明某一个轨道所代
表的“能级”是什么，每一条光谱线，只代表两个“能级”之间的“能量差”。所以，只有“能级差”或者“轨道差”是可以被直接观察到的
，而“能级”和“轨道”却不是。
为了说明问题，我们还是来打个比方。小时候的乐趣之一是收集各种各样的电车票以扮作售票员，那时候上海的车票通常都很便宜，最多也就
是一毛几分钱。但规矩是这样的：不管你从哪个站上车，坐得越远车票就相对越贵。比如我从徐家汇上车，那么坐到淮海路可能只要3分钱，而
到人民广场大概就要5分，到外滩就要7分，如果一直坐到虹口体育场，也许就得花上1毛钱。当然，近两年回去，公交早就换成了无人售票和统
一计费——不管多远都是一个价，车费也早就今非昔比了。
让我们假设有一班巴士从A站出发，经过BCD三站到达E这个终点站。这个车的收费沿用了我们怀旧时代的老传统，不是上车一律给2块钱，而是
根据起点和终点来单独计费。我们不妨订一个收费标准：A站和B站之间是1块钱，B和C靠得比较近，0。5元。C和D之间还是1块钱，而D和E离得远
，2块钱。这样一来车费就容易计算了，比如我从B站上车到E站，那么我就应该给0。5 1 23。5元作为车费。反过来，如果我从D站上车到A站，
那么道理是一样的：1 0。5 12。5块钱。
现在玻尔和海森堡分别被叫来写一个关于车费的说明贴在车子里让人参考。玻尔欣然同意了，他说：这个问题很简单，车费问题实际上就是两
个站之间的距离问题，我们只要把每一个站的位置状况写出来，那么乘客们就能够一目了然了。于是他就假设，A站的坐标是0，从而推出：B站
的坐标是1，C站的坐标是1。5，D站的坐标是2。5，而E站的坐标是4。5。这就行了，玻尔说，车费就是起点站的坐标减掉终点站的坐标的绝对值，
我们的“坐标”，实际上可以看成一种“车费能级”，所有的情况都完全可以包含在下面这个表格里：
站点 坐标（车费能级）
A 0
B 1
C 1。5
D 2。5
E 4。5
这便是一种经典的解法，每一个车站都被假设具有某种绝对的“车费能级”，就像原子中电子的每个轨道都被假设具有某种特定的能级一样。
所有的车费，不管是从哪个站到哪个站，都可以用这个单一的变量来解决，这是一个一维的传统表格，完全可以表达为一个普通的公式。这也
是所有物理问题的传统解法。
现在，海森堡说话了。不对，海森堡争辩说，这个思路有一个根本性的错误，那就是，作为一个乘客来说，他完全无法意识，也根本不可能观
察到某个车站的“绝对坐标”是什么。比如我从C站乘车到D站，无论怎么样我也无法观察到“C站的坐标是1。5”，或者“D站的坐标是2。5”这
个结论。作为我——乘客来说，我所能唯一观察和体会到的，就是“从C站到达D站要花1块钱”，这才是最确凿，最坚实的东西。我们的车费规
则，只能以这样的事实为基础，而不是不可观察的所谓“坐标”，或者“能级”。
那么，怎样才能仅仅从这些可以观察的事实上去建立我们的车费规则呢？海森堡说，传统的那个一维表格已经不适用了，我们需要一种新类型
的表格，像下面这样的：
A B C D E
A0 1 1。5 2。5 4。5
B1 0 0。5 1。5 3。5
C1。5 0。5 0 1 3
D2。5 1。5 1 0 2
E4。5 3。5 3 2 0
这里面，竖的是起点站，横的是终点站。现在这张表格里的每一个数字都是实实在在可以观测和检验的了。比如第一行第三列的那个1。5，它的
横坐标是A，表明从A站出发。它的纵坐标是C，表明到C站下车。那么，只要某个乘客真正从A站坐到了C站，他就可以证实这个数字是正确的：
这个旅途的确需要1。5块车费。
好吧，某些读者可能已经不耐烦了，它们的确是两种不同类型的东西，可是，这种区别的意义有那么大吗？毕竟，它们表达的，不是同一种收
费规则吗？但事情要比我们想象的复杂多了，比如玻尔的表格之所以那么简洁，其实是有这样一个假设，那就是“从A到B”和“从B到A”，所
需的钱是一样的。事实也许并非如此，从A到B要1块钱，从B回到A却很可能要1。5元。这样玻尔的传统方式要大大头痛了，而海森堡的表格却是
简洁明了的：只要修改B为横坐标A为纵坐标的那个数字就可以了，只不过表格不再按照对角线对称了而已。
更关键的是，海森堡争辩说，所有的物理规则，也要按照这种表格的方式来改写。我们已经有了经典的动力学方程，现在，我们必须全部把它
们按照量子的方式改写成某种表格方程。许多传统的物理变量，现在都要看成是一些独立的矩阵来处理。
在经典力学中，一个周期性的振动可以用数学方法分解成为一系列简谐振动的叠加，这个方法叫做傅里叶展开。想象一下我们的耳朵，它可以
灵敏地分辨出各种不同的声音，即使这些声音同时响起，混成一片嘈杂也无关紧要，一个发烧友甚至可以分辨出CD音乐中乐手翻动乐谱的细微
沙沙声。人耳自然是很神奇的，但是从本质上说，数学家也可以做到这一切，方法就是通过傅立叶分析把一个混合的音波分解成一系列的简谐
波。大家可能要感叹，人耳竟然能够在瞬间完成这样复杂的数学分析，不过这其实是自然的进化而已。譬如守门员抱住飞来的足球，从数学上
说相当于解析了一大堆重力和空气动力学的微分方程并求出了球的轨迹，再比如人本能的趋利避害的反应，从基因的角度说也相当于进行了无
数风险概率和未来获利的计算。但这都只是因为进化的力量使得生物体趋于具有这样的能力而已，这能力有利于自然选择，倒不是什么特殊的
数学能力所导致。
回到正题，在玻尔和索末菲的旧原子模型里，我们已经有了电子运动方程和量子化条件。这个运动同样可以利用傅立叶分析的手法，化作一系
列简谐运动的叠加。在这个展开式里的每一项，都代表了一个特定频率。现在，海森堡准备对这个旧方程进行手术，把它彻底地改造成最新的
矩阵版本。但是困难来了，我们现�