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不过，在这些黑暗没有完全成为现实之前，欧洲的数学家们就已经解决了中心极限定理的证明问题。芬兰的亚尔？瓦尔德马？林德伯格和法国的保罗？利维分别发现了能够使中心极限定理这个猜想成立所必需的一组重叠的条件。这证明了至少存在三种解这个问题的方法，而且证明了中心极限定理不是只有一个单个的定理，而是有一组定理，其中每个中心极限定理都能从略有区别的一组条件中推导出来。到了1934年，中心极限定理（组）终于不再是猜想了，一个科学家必须要做的只是要证明林德伯格？利维条件（LindebergLévy Conditions）成立，那么中心极限定理就成立，于是，他就可以随意地把正态分布设为一个合适的模型。
林德伯格？利维条件与U统计量
然而，就一个特定情况而言，要证明林德伯格？利维条件成立很难。但在理解林德伯格？利维条件上倒有几分安慰，因为他们描述的条件看上去是合理的，而且在大多数情况下都是成立的。不过要证明其成立却是一个棘手的问题，这也正是战后远在北卡罗莱纳大学辛苦工作的瓦西里？霍夫丁（Wassily Hoeffding）在这个故事中竟会有如此重要地位的原因。1948年，霍夫丁在《数理统计年报》（Annals of Mathematical Statistics）上发表了一篇论文，题目是“渐近正态分布的一组统计量”。
回想费歇尔曾把统计量（statistic）定义为：从观察到的测量值得出的、可用来估计其分布参数的一个数值。费歇尔还建立了有用的统计量应该具备的一些准则，在这个过程中，他还指出了利用皮尔逊的许多方法导出的统计量不符合这些准则。有很多种计算统计量的不同方法，其中的很多统计量都能满足费歇尔提出的准则。一旦计算出统计量，为了要用它，我们必须知道它的分布。如果它服从正态分布，用起来就容易多了。霍夫丁提出了一种他所谓的“U统计量（Ustatistics），并指出一个统计量如果属于这种U统计量，则满足林德伯格？利维条件。正因为如此，我们只须指出一个新的统计量是否与霍夫丁的定义相一致，而不必去解那些很困难的数学来证明林德伯格？利维条件成立。霍夫丁所做的一切就是用一组数学必要条件取代另外一组。然而，霍夫丁的条件事实上很容易检查。因此，霍夫丁的论文发表之后，几乎所有的论文在证明一个新统计量服从正态分布的时候，都是通过证明该统计量是一个U统计量来完成的。
霍夫丁在柏林
第二次世界大战期间，霍夫丁处在一个不确定的微妙境况中。他1914年出生在芬兰，父亲是丹麦人，母亲是芬兰人。第一次世界大战之后，芬兰沦入俄罗斯帝国的统治，就在这个时候，霍夫丁随家人迁往丹麦，随后又迁往柏林，因此他拥有斯堪的纳维亚地区两个国家的双重国籍。1933年他高中毕业，随后开始在柏林攻读数学。就在那个时候纳粹开始在德国掌权。预料到以后可能发生的事，霍夫丁就读的那所大学的数学系的系主任R？冯？米泽斯早早地离开了德国，不久之后，为霍夫丁授课的其他许多教授，有的逃走了，有的被解除了职务。在动乱中，年轻的霍夫丁所选的课都是由一些低水平的教师来讲授的。即便如此，这些教师中的很多人也没能维持到把他们承担的课程教完，因为纳粹在持续不断地“净化”大学教师队伍，把大学教师中所有的犹太人和犹太人的同情者全都清除出去。
随同数学系里的其他学生一道，霍夫丁被迫去听路德维希？比贝尔巴赫（Ludwig Bieberbach）讲授的一堂课。比贝尔巴赫一直都是教师中的小角色，只是因为对纳粹党的狂热拥护，才合他成为数学系新的系主任。比贝尔巴赫这堂课讲的是“亚利安”数学与“非亚利安”数学的区别，他声称颓废的“非亚利安”（解读为犹太）数学家仰仗着复杂难解的代数符号做研究，相反，“亚利安”数学家则在更高贵、更纯粹的几何直觉领域里从事研究。结束了讲课的时候，他让学生提问题。坐在后排的一个学生问他，为什么偏偏是这个里夏德？库朗（Richard Courant，20世纪初德国伟大的犹太裔数学家之一）运用几何洞察力创建了他的实分析理论（theories of real analysis）。此后，比贝尔巴赫再也没有就这个题目上过公开课。但是他创办了《德国数学》（Deutsche Mathematik）杂志，这个杂志很快就成为当政者眼中居第一位的数学期刊。
1940年，霍夫丁完成了他的大学学业，像他这个年龄的其他男青年都要应征到部队去服兵役，但由于他的双重公民身份，并且当时的芬兰已成为德国的一个盟国这样的事实，他因此不必服兵役。他找到一份工作，在一家跨校际的精算杂志社的办公室兼职。与比贝尔巴赫创办的那个杂志不同，这是一个很难约到论文，因此也很难定期出版发生的杂志。霍夫丁甚至连寻找一份教书的工作都不能，因为他必须申请到正式的德国公民身份才有资格去教书。
1944年德国政府宣布，具有“德国血统或相关血统“的非德国籍青年也要服兵役。不过，在霍夫丁体检的时候，发现他患有糖尿病而免于服兵役。这时他终于有了找工作的资格。他兼职的那家期刊的编辑哈拉尔德？格佩特（Harald Geppert）建议他从事某种军事应用方面的数学研究工作，他提这项建议的当时，期刊的另一个编辑赫尔曼？施密德（Hermann Schmid）也在场。霍夫丁犹豫了一下，然后，出于对格佩特的谨慎的依赖，他对格佩特说，任何一种与战争有关的工作都违背他的良心。施密德出身于一个普鲁士贵族家庭，霍夫丁希望他的家族荣誉感能让他对这次谈话守口如瓶。
随后的几天里，霍夫丁一直提心吊胆的，但什么事都没有发生，他得以继续他的研究。当俄国军队逼近柏林的时候，一天早上，格佩特在早餐里放了毒药喂给他年幼的儿子，随后他和他的太太也服毒自杀了。1945年2月，霍夫丁和他的母亲一起逃到汉诺威的一个小镇上，他们在那里的时候，这个地方成为英军占领区的一部分。而他父亲仍滞留在柏林，在那里，他被俄国秘密警察以间谍罪逮捕，因为他一度曾为美国驻丹麦的商务参赞工作过。好几年时间，他杳无音信，直到他设法越狱，又历尽千辛万苦逃到了西方。在此期间，年轻的霍夫丁于1946年秋天到达纽约，继续他的学业，后来应邀到北卡罗莱纳大学任教。
运筹学
纳粹的这种反理智主义、反犹太主义倒行逆施的结果之一，就是让第二次世界大战的同盟国因此而丰收了许多才华横溢的科学家与数学家，在他们的鼎立相助下打赢了这场战争。英国生物学家彼得？布莱克特（Peter Blackett）向海军部建议，武装部队应该请一些科学家来协助解决战略和战术上的问题。无论是哪个专业研究领域的科学家们，他们都训练有素，能够应用逻辑和数学模型来解决问题。他建议组成科学家的攻关小组，让这些小组从事有关战争问题的研究，由此诞生了一门新学科——“运筹学”（operational research，在美国称之为operations research）。从事不同领域研究的科学家组成的科研小组联合起来共同研究，决定用远程轰炸机对付潜艇的最佳使用方案；为防空武器提供射击表；决定靠近前线的军火补给站的最佳选址；甚至还要解决军队的食物补给问题。
战争结束后，运筹学的应用由战场搬到了商场。那些在战争期间被征募到军队去服务的科学家已经证明了用数学模型和科学的思维来解决战事中的战术问题是多么有用。同样的步骤和许多相同的方法也能用来组织工厂里的生产，找出仓库与销售部门之间的最优关系，解决许多别的商务问题，均衡有限的资源，或改进生产与提高产量。从那时候起，大公司里大部分都设立了作业研究部门，而这个部门所从事的多数工作都与统计模型有关。
我在辉瑞公司工作的时候所做的几个项目，其目的都是为了改善对药物研究进行控制和提取新产品进行测试的方法，在所有这些研究中涉及到的一个重要方面就是，当条件可以满足时，有能力用正态分布去处理问题。
第10 章 拟合优度检验
20世纪80年代，出现了一种新型数学模型，激起了公众的遐想，主要是因为这种数学模型的名字——混沌理论（chaos theory ）。这个名字提示着某种形式的统计建模明显带有杂乱无序特征的随机性。创造了这个名字的人有故意避开使用随机（random）这个词的嫌疑。实际上混沌理论是尝试着在一个更高端的层次上，通过复兴决定论（determinism）来动摇统计革命。
回想一下，在统计革命之前科学所处理的那些“事件”，要么是已有的测量，要么是生成这些测量值的自然事件。伴随着统计革命，科学的事件变成了能左右测量值分布的参数。在早期的确定性方法中，有一个信条是，越精确的测量，对所考察的自然客体的描述也就越精确；而在统计方法中，分布参数有时候不必有一个自然客体，无论多么精确的测量系统，分布参数的估计值终究是有误差的。例如，在确定性方法中，重力常数是描述物体如何向地球下落的一个恒定不变的值；而在统计方法中，我们对重力常数的测量值永远都不会是一样的。为了“通晓”落体的性质，这些测量值分布的离散状态才是我们想要确立的。
1963年，混沌理论专家爱德华？洛伦兹（Edward Lorenz）做了一个后来时常被引用的演讲，演讲题目为“巴西一只蝴蝶翅膀的翩翩舞动，会引起德克萨斯州的龙卷风吗？”洛伦兹的主要论点是，混沌的数学函数对初始条件非常敏感，初始条件的些微差异，经过多次迭代之后，中以导致全然不同的结果。洛伦兹相信，由于存在这种对初始条件微波差异的敏感性，�