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起来，研究一下它们的关系；这样，你无须讲什么定义、命题或任何论证的方法，只简简单单地把图重叠起来，反复观察，就可以学会全部初等几何学。至于我，我是不想教爱弥儿几何学的，相反地，要由他来教我；由我寻找那些关系，而他则发现那些关系，因为我在寻找那些关系时，采用了使他能够发现那些关系的方法。
例如画圆周的时候，我不用圆规，而用一根线一端系一个笔尖，另一端系在一个轴上转一个圈。
画好以后，我就把一个个的半径加以比较，这时候，爱弥儿就会笑我，就会告诉我说，如果把那根线老是拉得那么紧的话，是不至于画出不相等的半径的。
如果我要量一个六十度的角，我便以这个角的顶点为中心，画一个整个的圆形而不画一个弧形；因为，对孩子们是不能采取什么不言自明的含蓄作法的。我发现这个角的两条线间切取的那一部分圆是整个圆形的六分之一。
画完以后，我又以这个角顶为中心画一个比较大的圆，我发现这第二个弧形仍然是它的圆形的六分之一。我又画第三个同心圆，我在这个圆上又做了同样的试验，终于使爱弥儿对我这种愚蠢的做法大吃一惊，于是就告诉我说，这个角所切取的每一个弧，不论大小，都是圆形的六分之一，等等。这样一来，我们马上就懂得半圆规的用法了。
为了证明三角形三角之和等于二直角，别人是画一个圆来证明；而我则相反，我先使爱弥儿在圆周内看出这一点，然后对他说：“如果把圆周去掉，留下这几条直线，这几个角的大小变没有变呢？”等等。
一般人对作图的准确性是不大注意的，认为可以假定它
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０１２爱 弥 儿
是准确的，因此，就把他们的注意力集中于怎样证题。我们的做法则相反，我们所关心的，不是怎样证法；我们认为最重要的是，画线要画得很直，很准确，很均匀；画方就方，画圆就圆。为了证明图是不是画得精确，我们就用所有一切可以觉察得到的特征去检验它；这样，就使我们每天都有发现一些新特征的机会。
我们按一条直径把一个圆摺成两个半圆；按对角线把一个正方形摺成两半：我们把两个图形加以比较，检查哪一个图的边摺得最准确，因而把那个图分得最好；我们要讨论一下在平行四边形和不等边四边形中是不是也能够分得这样平均，等等。我们有时候在没有做试验以前就要预言一下是否能做得成功，并且要尽量找出其中的道理，等等。
对我的学生来说，几何学只不过是一门怎样掌握使用尺子和圆规的艺术；千万不要把它跟图画混同起来，他在画图画的时候是不用这两种器具的。
应当把尺子和圆规都锁起来，不要轻易给他使用，而且，即使使用，用的时间也要很短，以免他习惯于拿它们去乱画；我们可以在散步的时候把我们所画的图带在身上，好谈谈我们应该怎样画或者我们打算怎样画。
我永远也不会忘记这件事情：我在都灵看见过一个年轻人，他小时候，老师每天拿出许多各种各样几何形状的奶油薄饼，叫他把其中等周形的薄饼都挑选出来，想通过这个办法教他学会周长和面的关系。因此，这个小小的贪吃鬼就把阿基米得〔１〕的艺术做了一番透澈的研究，以便去寻找可以
〔１〕阿基米得（公元前２８７—２１２）
，古希腊的数学家和物理学家。
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第 二 卷１１２
多吃几口的饼C。小孩子玩羽毛球，可以锻炼他的眼睛看得准，手打得稳；他抽陀螺，可以增长他的气力，但是他不能从其中学到什么东西。我有时候问人家，为什么不给孩子们玩大人所玩的需要技巧的游艺，例如网球、槌球、台球、射箭和足球。他们回答我说，在这些游艺当中，有些是他们的体力玩不了的，而另外一些，由于他们的五官和四肢发育不够，所以还不能玩。
我认为，这些理由是不对的，这无异是说，一个孩子没有大人那样的身材，就不能穿大人那样的衣服。我的意思并不是要他们拿我们玩的大棍子到一个三高的台子上去打弹子，也不是要他们到我们的运动室去打台球，或者要他们的小手使用网球拍子；我的意思是要他们在一个大厅里玩，大厅的窗子可以用东西挡起来，叫他们在里面先只玩软球，按他们的进度开始用木拍子，然后用皮拍子，最后才用肠线绷的拍子。
你认为他们最好是玩羽毛球，因为它不那么使人疲劳，而且也没有危险。你这两个理由都是错误的。羽毛球是妇女们玩的东西；没有哪一个妇女见到皮球滚来时不逃跑的。她们白嫩的皮肤经不住撞擦，她们的脸不能打伤。可是我们，生来就是要成为身强力壮的人的，难道说不吃一些苦就能成为这样的人吗？如果从来没有受过打击，又凭什么力量去抵抗打击呢？老是那样有气无力地玩，即使是笨一点的话，也不会出岔子；一个羽毛球掉下来是打不伤人的；然而正是因为
所谓“等周形”
，就是几个周边的长度是相等的图。在这种图形中，圆C形包括的面最大。因此，那个孩子应该选择圆形的奶油薄饼。
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要用手去保护头，所以才能把我们的手锻炼得异常灵活，正是因为要保护眼睛，所以才能锻炼我们的眼睛看得准，看得明。从大厅的这边跳到那边，判断那跳在空中的球将落到什么地方，又狠又准地用一只手把球打出去，这些游戏虽不适合于大人玩，但可以用它们来培养孩子们的本领。
人们说，孩子的筋骨太柔嫩！他们的筋骨气力虽差，但是却比较灵活；他们的胳臂虽然没有劲，但总是一条胳臂；应当比照其他的器官加以适当的锻炼。人们又说，孩子们的手中没有掌握什么技巧；正是因为这个缘故我才希望教他们学一些技巧。
一个大人如果同他们一样地没有经过很多的锻炼，其动作也是不会比他们的动作灵巧的。我们只有在使用过我们的器官以后，才懂得怎样去运用它们。只有从长期的经验中我们才能学会充分发挥我们本身的能力，而我们要真正学习的，正是这种经验，所以，不能不趁早就开始学起。
凡是我们能做的，都可以教他们去做。谁都看到过身子灵巧的孩子，做起事来手脚的灵活和大人是一样的。我们差不多在所有的市集上都看到过他们表演金鸡独立、双手走路和花样跳绳。这些年来，有多少儿童剧团把观众吸引到意大利喜剧院去看他们的芭蕾舞啊！在意大利和德国，谁没有听说过著名的尼科利尼哑剧团？哪一个曾经讲过，同成年的舞蹈家相比，那些儿童的动作没有那样熟练，姿势没有那样优美，耳朵听音乐没有那样准确，舞蹈没有那样柔和？
诚然，首先，他们的指头粗短而不灵巧，手也肥大，不太拿得稳东西，但是不是因此就使其中的几个孩子不会写字和画图呢？要是别人在他们那样的年纪，也许连笔也不知道怎样拿法咧。全
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第 二 卷３１２
巴黎的人现在都还记得，有一个英国女孩子年纪只有十岁，却能弹一手好钢琴①。
在一个市长的家里，我曾经看见过，大家在餐后用茶点的时候，把他的一个漂亮的八岁男孩放在桌上演奏大提琴；他站在桌上，宛如站在高台中央的一个塑像，而大提琴的个儿也差不多同他的身子一样高，可是这孩子演奏的美妙，竟使提琴家也为之吃惊。
我觉得，以上这些例子和许多其他的例子都证明，大家认为孩子们笨而无力，不宜做我们所做的运动，只不过是想当然耳；如果说你们还没有看见过他们把这些运动做得成功的话，那全是因为你们从来没有要他们练习的缘故。
也许有人会说，我在这里谈到儿童的身体时，又犯了我在谈到儿童的心灵时所谴责的过早地培养的错误。这两者是大不相同的；因为，在这两种进步中，有一个只是表面的进步，而另一个则是真正的进步。我已经论证过，孩子们表面上看起来好象有心思，其实他们是没有心思的；反之，他们看来能做的事，他们是能够做到的。此外，我们始终要想到的是，所有这些只不过是或者只能是游戏，才是大自然要求他们的使一切活动能舒展自如的办法，才是使他们的娱乐变得更有趣味的艺术，以便使他们不感到有丝毫的勉强，不至把娱乐当成了苦役。因为，归根到底，如果我不能够使游戏在他们看来是一种教育人的办法，他们又从哪里觉得游戏是很有趣味的呢？即使我不能做到这一点，只要他们玩得高兴而不出什么毛病，同时又消磨了时间，则目前他们在各方面
①在此以后，又有一个七岁的男孩比她演奏得更好。
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４１２爱 弥 儿
能否取得进步，是无关紧要的；反之，如果照你们所想的，非要他们学这个学那个不可，那么，就不能不最终使他们感到束缚、愤恨和烦恼。
我对我们经常不断地使用的最重要的两种感官所说的话，也可以用来说明我们应当怎样锻炼其他的感官。视觉和触觉对静止的和运动的物体都同样能起作用；但是，因为只有空气的振荡才能触动我们的听觉，只有运动的物体才能发出声音，所以，如果万物都静止不动的话，我们就永远也听不到什么声音了。
在夜里，我们只有在高兴的时候才活动，所以我们对一切动的物体总是感到害怕的，因此我们的耳朵必须要灵，要能通过它听到的声音判断发出声音的物体的大小和远近，以及它的振动是很猛烈还是很轻微。动荡的空气是往往要受到反射的，一有反射就要产生回音，因而使我们听到的声音有所重复，觉得那发出声响的东西是�