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考虑未知参数的函数
求出参数（b1；b2…bk）的估计量（b1；b2…bk）使上述函数｜（b1；b2…bk）达到最小值的方法称为最小二乘方法。本章中设X1t =1；主要是为了考虑包括常数项的模型。如果引进向量和矩阵符号可以把（1）写成矩阵表达形式。
Y=Xb＋U （3）
其中Y=（Y1；Y2；…Yn）T
b=（b1；b2；…bk）T
U=（u1；u2；…un）T
平方和的函数形式（2）变成向量的内积形式
｜（b）=（Y－Xb）T（Y－Xb） （4）
根据矩阵函数的求导法则和微分学中求极值的方法可知，要使（4）达到极小值，参数的估计量应满足条件：
即
XTXb=XTY
容易得到
b=（XTX）…1XTY
b称为b的最小二乘估计， =Xb称为估计回归平面，注意到为求出OLS估计用到了（XTX）…1存在的条件。为了使OLS估计b具有统计上一些重要的性质，对于模型（3）有必要做出如下的假定：
1）误差项ut的期望为0，即E（ut）=0 （t=1；2；…n）
2）不同时点的误差项之间不相关，即E（utus）=0 （t1s；t；s=1；2； …n）
3）ut的方差和t无关，即Var（ut）=s2 （t=1；2；…n）
4）Xit为确定性变量，即E（Xitut）=0
5）由X的列向量构成的向量组线性无关，即r（X）=k ……，这表明距离现在越近，影响也就越大。把bi代入（13）式，得出
Ct =a＋b（1…l） Yt＋b（1…l）l Yt…1＋b（1…l）l2 Yt…2＋ …… （14）
用l乘次Ct…1可得
l Ct…1=la ＋ b（1…l）l Yt…1＋b（1…l）l2 Yt…2＋ …… （15）
（14）…（15）给出
Ct …l Ct…1 = a （1…l）＋b（1…l） Yt （16）
即
Ct=a （1…l）＋b（1…l） Yt＋l Ct…1 （17）
Brown消费函数本质上是考虑了消费习惯影响到本期的消费，从模型中可以看出，短期MPC（边际消费倾向）为b（1…l），长期MPC为b。
利用表9。1的数据，Brown消费函数的估计结果由下面的（18）式给出
C=…74。38＋0。6095Y/CP＋0。3706C（…1） （18）
（…1。02） （5。44） （2。88）
R2=0。997 S=131 F（2；16）=2291 DW=1。78
如果考虑在Brown消费模型的基础上在增加一个解释变量实际储蓄存款利率（一年期利率），我们得到以下结果：
C=…8。894＋0。4839Y/CP＋0。5064C（…1） … 9。683R … 295。4D1 （19）
（…0。125） （4。29） （3。95） （…1。73） （…2。18）
R2=0。997 S=118 F（4；14）=1427 DW=1。76
（19） 式中的变量D1称为虚拟变量，它刻画了1989年物价的急剧波动。
从上面3种不同形式的消费函数的估计结果来看，回归模型中参数的符号及大小不仅和经济理论相吻合，而且参数的估计值在统计上有意义。3种模型中的长期MPC分别为0。93、0。97、0。98，在数值上没有发生明显的变化。这种高MPC反映了中国城市居民在此期间的消费特点，我们注意到1965年…1985年间的美国、德国（西德）、法国的宏观消费函数中的MPC都在0。9以上。考虑到MPC和投资乘数的关系，从投资乘数M=1/（1…MPC）；可以得到在高MPC的情况下，投资乘数的效果增加。但是，应该注意的是，随着近年我国居民收入结构的改变和各种金融证券市场的日趋繁荣，消费函数中应考虑加入金融资产和隐性收入等变量，这样更能够说明城市居民的消费状况。
§7。2 计量模型分析中的诸问题
在第1节中看到模型中误差项ut的诸假设对于OLS估计具有blue性质至关重要，特别是如果ut关于方差一定和不