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学工作者只要解决了巴黎问题中的任何一个，就可以使自己一举成名。后来，
那些对于解决希尔伯特为23个问题作出贡献的数学家们就被称作“荣誉等
级”数学家。
这时，希尔伯特已开始享有一个数学家所能享有的最高声誉。从关于不
变量理论登峰造极的研究——《数论报告》和深刻、丰富的类域论计划——
广泛传播影响深远的几何基础小册子——狄里克莱原理的起死回生——变分
学的重要定理——巴黎问题，外国科学院纷纷选他为院士。德国政府授予他
“枢密顾问”的头衔。但是希尔伯特并没有用虚伪的谦虚来自扰，而以朴素
稳重的喜悦接受了这种成功。
这时，希尔伯特的双亲还健在。长期以来希尔伯特法官对儿子的事业成
功一直抱有怀疑。数学有它自己特点，作为门外汉，他不可能真正地鉴赏他
儿子的这些成就；但是，希尔伯特获得了许多荣誉，终于驱散了他父亲心中
的疑虑。
巴黎会议之后，希尔伯特继续研究几何学，但他的大部分时间是用于探
讨分析问题。但是，在1900至1901年的一个冬日，一个名叫伊凡·弗雷德
霍姆的德国年轻人发表的一篇关于积分方程的论文使他认识到：弗雷德霍姆
的工作比他自己在变分学方面的工作更接近于他所追求的目标，那就是从方
法论的角度达到处理分析学问题的统一途径。因此，他现在毫无反悔地放弃
了自己原来的计划而以巨大的热情投入积分方程的研究。
八、众望所归
20世纪初，全世界数学专业的学生都受到同样的忠告：“打起背包，到
哥廷根去！”
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论数学，在哥廷根克莱因的讲课被人们奉为典范。他备课充分，板书清
晰，他还尤其擅长于纵观全局：能在不同的问题中洞察到统一的思想，并有
一种集中必要的材料来阐明其统一见解的艺术。他的观点是：学生应该自己
来完成数学定理的证明，他只讲解证明方法的轮廓。学生们在课外至少得花
费四倍的时间来掌握听课的内容。
相反，希尔伯特的讲课与之迥然不同。他也不能容忍数学课只是填鸭式
地给学生灌输各种事实，而不去教会他们怎样提出问题和解决问题，他时常
告诉学生：“问题的完善提法意味着问题已经解决了一半”。他常常以极其
充分的时间来透彻解释一个问题，使得接下去的证明就显得那么自然，以致
常使别人惊异地抱怨自己为什么没想到它。
他在备课时，只注重那些准备在课上提出的基本原理，而不详细准备细
目。他认为：“学生们能很容易地填补上这些内容，写出一份很好的笔记。
可是由于他的某些讲演的思路太新颖，学生们有时很难跟得上，即使是他的
助手阿尔伯特·安德雷的讲义笔记也帮不了学生们多少忙。因为他备课方式
的简略，虽然有时在课上由于细节的推错或推不出而下不了台，然而人们认
为，哥廷根的数学课没人赶得上他。
他在课上时常会顺着自己的思路讲下去，也会从其他领域引出概念并指
出非常好的结果和最新的工作。学生们都被他深深地吸引着：一般来说，在
几年中也不可能见到这么多的数学概念和领域的。听他的课，学生们会觉得
数学是“活”的。希尔伯特的讲课简炼、自然、逻辑严紧、思路清晰、观点
鲜明，与克莱因的那种精心准备，百科全书式的“尽善尽美”讲演相比，多
数学生更喜欢希尔伯特的课。
希尔伯特还很讲究教育学。他并不怎么看重学生的天资，而相信绝大多
数的事情经过几次才能被接受。当年轻的赫尔曼·魏依尔开始教书生涯时，
希尔伯特给他的难忘的忠告是：“五次，赫尔曼，要五次！”“要保持做乘
法表那种最低水平的计算”“要从简单的例子开始。”这又是希尔伯特的一
些最得意的准则。他自己在提出重要概念时，就总是以生动的方式寻找对照
物，使学生加深理解，而又不易忘却。
哥廷根就是因为有了希尔伯特，而成了“德国数学的麦加”。
魏依尔就是慕名来到哥廷根。一开始的时候，希尔伯特所讲的大部分内
容只是从他的脑子里一闪而过，但却在他面前“打开了新世界的门户”。希
尔伯特的“乐观，热情，他对于科学的价值的无可动摇的信仰，以及对于简
明的问题追求简明答案的推理能力的坚定信心”，这一切都对魏依尔有着不
可抗拒的魅力。
魏依尔是一个除了数学还对语言有爱好的青年人，他在阅读希尔伯特的
《报告》时发现希尔伯特清澈明晰的行文风格，反映着他那特有的希尔伯特
式的思维方式。他后来总是把研读《报告》的那几个月说成是他一生中最幸
福的日子。
1902年秋，闵可夫斯基来到哥廷根之后，希尔伯特不再感到弧单了。希
尔伯特除了自己的课，还和闵可夫斯基一起主持着一个讨论班。由于闵可夫
斯基已经具有了相当可观的物理学专门知识，所以这个讨论班学习了一年物
理。1905年，他们决定在讨论班上研究运动物体的电动力学。闵可夫斯基是
开展这项研究计划的倡导者，希尔伯特是积极的参加和真正的合作者，希尔
伯特时常在把一些问题搞得更清晰，而且他永远在追求着清晰性。
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讨论班的学生们都觉得这个讨论班的活动扣人心弦而且富于刺激力。他
们在那里听到了有关电动力学的种种古怪有趣的论述，就在这一年，希尔伯
特他们无独有偶地获得了跟爱因斯坦的狭义相对论类似的结果。但是，当时
的哥廷根事先并不知道爱因斯坦的工作。
这期间，希尔伯特还在继续他的积分方程研究，为了让研究和数学保持
紧密联系，他时常在讨论班上和课堂上报告他的那些还没有最后成型的结
果。这些研究工作也就往往以他跟学生合作的方式继续下去了。希尔伯特后
来指出，他的这些学生不断地获得更加精确的系统的理论表述，有时候还真
扩展了该领域的研究范围。
1905年，匈牙利科学院突然宣布要颁发一种奖金，使整个数学界大为震
惊；有一笔一万克朗的奖金将授予这样一位数学家——他在过去25年中所取
得成就为数学的进步作出了巨大的贡献。为了纪念匈牙利人约翰·鲍耶，非
欧几何的创始人之一，以及他的父亲沃尔夫冈·鲍耶——高斯的同学和终身
密友，奖金被命名为鲍耶奖。
那时，数学界里没有人不清楚，这将在希尔伯特和享利·庞加莱之中选
一个。结果，评定委员会一致决定把鲍耶奖授予庞加莱，因为庞加莱自1879
年起就开始从事数学研究了，而希尔伯特当时还只是一个预科学校的学生。
但是评委会还是表示了对大卫·希尔伯特的最崇高的敬意。委员们一致决议，
在那份提交给科学院的、说明他们所作选择的报告中，用和评述庞加莱工作
一样的份量充分阐明了希尔伯特的贡献。
所以，身为评委会成员之一的克莱因从布达佩斯给希尔伯特写的信中
说：“没有黄金，但有荣誉。”当克莱因返回哥廷根之后，他向布鲁门萨尔
解释说：“这次奖金之所以落人庞加莱之手，起决定作用的因素是这个法国
人已经走遍了”数学科学的整个活动范围。同时，他预言：“希尔伯特也一
定会像庞加莱那样，遍历数学科学的广阔的领域的！”
克莱因的这个预言说的恰是时候，眼下，希尔伯特正在创造那项即将成
为他在分析研究方面的登峰造极的成果——无穷多个变量的理论，即后来人
们一般所称的“希尔伯特空间”’理论。
时隔五个春秋，1910年秋，匈牙利科学院宣布了第二届鲍耶奖的得主—
—希尔伯特，作为评奖委会员的秘书，庞加莱准备了一份概要介绍希尔伯特
工作的报告，这个报告将向匈牙利科学院提出，然后公开发表。
庞加莱在报告中强调了希尔伯特工作的几个特点：探索范围之广阔，研
究问题之重要，方法之简洁、优美，叙述之清晰明了，以及对于绝对的严格
性的追求。庞加莱称赞了希尔伯特的著作明快易读，同时还指出：“希尔伯
特对数学科学进展的影响，不只是在于他个人的研究成就，而且还在于他所
忠诚地从事的教学活动。他给予学生的帮助，使他们能够运用他所创造的方
法对数学科学作出自己的贡献。”庞加莱详细介绍了希尔伯特的成就，并且
试图阐明这些成就与其他数学家的成就的关系。
庞加莱为鲍耶奖写的报告发表在1911年的《数学学报》上。但当时大家
谁也没有料到，庞加莱在报告中概括的内容竟将是希尔伯特对构造性数学的
全部贡献了。因为就在第二年，50岁的希尔伯特关于积分方程的工作，把他
带到了数学与物理的边缘领域。1912年春，希尔伯特发表了一篇有关气体分
子运动论方面的基础性论文，它向人们宣告：这位数学家的注意力现在已经
转向了物理学。
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九、物理学家
1908年，希尔伯特已经跟闵可夫斯基交了四分之一世纪的朋友。希尔伯
特现年46岁；闵可夫斯基也44岁了。这时，闵可夫斯基正处在富有创造力
的